与えられた極限 $\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)}$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$1 - x^2$ を因数分解します。

$1 - x^2 = (1-x)(1+x) = -(x-1)(1+x)$

与えられた極限は、

$\lim_{x \to 1} \frac{-(x-1)(1+x)}{\sin(x-1)}$

となります。

$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sin(x-1)}$ は、$x \to 1$ のとき $\frac{x-1}{\sin(x-1)} \to 1$ となることを利用します。

$\lim_{x \to 1} \frac{1 - x^2}{\sin(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{-(x-1)(1+x)}{\sin(x-1)} = \lim_{x \to 1} -(1+x) \cdot \frac{x-1}{\sin(x-1)}$

$x \to 1$ のとき、$1+x \to 1+1 = 2$ であり、$\frac{x-1}{\sin(x-1)} \to 1$ であるので、

$\lim_{x \to 1} -(1+x) \cdot \frac{x-1}{\sin(x-1)} = -2 \cdot 1 = -2$

したがって、求める極限は -2 です。

3. 最終的な答え

-2