与えられた2つの曲線の凹凸を調べる問題です。 (1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ (2) $y = x + \cos(2x)$ ($0 \leq x \leq \pi$)

1. 問題の内容

与えられた2つの曲線の凹凸を調べる問題です。

(1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

(2) $y = x + \cos(2x)$ ($0 \leq x \leq \pi$)

2. 解き方の手順

凹凸を調べるためには、2階微分を計算し、その符号を調べます。

(1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$ の場合:

まず、1階微分を計算します。

$y' = 4x^3 - 4x$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = 12x^2 - 4$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x^2 - 4 = 0$

$12x^2 = 4$

$x^2 = \frac{1}{3}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

次に、$y''$ の符号を調べます。

- $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

- $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

- $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

(2) $y = x + \cos(2x)$ ($0 \leq x \leq \pi$) の場合:

まず、1階微分を計算します。

$y' = 1 - 2\sin(2x)$

次に、2階微分を計算します。

$y'' = -4\cos(2x)$

$y'' = 0$ となる $x$ ($0 \leq x \leq \pi$) を求めます。

$-4\cos(2x) = 0$

$\cos(2x) = 0$

$2x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

次に、$y''$ の符号を調べます。

- $0 \leq x < \frac{\pi}{4}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

- $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

- $\frac{3\pi}{4} < x \leq \pi$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

3. 最終的な答え

(1) $y = x^4 - 2x^2 + 1$

- $x < -\frac{1}{\sqrt{3}}$ : 下に凸

- $-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ : 上に凸

- $x > \frac{1}{\sqrt{3}}$ : 下に凸

(2) $y = x + \cos(2x)$ ($0 \leq x \leq \pi$)

- $0 \leq x < \frac{\pi}{4}$ : 上に凸

- $\frac{\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{4}$ : 下に凸

- $\frac{3\pi}{4} < x \leq \pi$ : 上に凸