以下の3つの逆三角関数について、それぞれ - 定義の説明 - 定義域と値域 - グラフ を答える問題です。 (1) 逆正弦関数: $y = \sin^{-1}x$ (または $y = \arcsin x$) (2) 逆余弦関数: $y = \cos^{-1}x$ (または $y = \arccos x$) (3) 逆正接関数: $y = \tan^{-1}x$ (または $y = \arctan x$)

はい、承知しました。逆三角関数の問題ですね。

1. 問題の内容

以下の3つの逆三角関数について、それぞれ

- 定義の説明

- 定義域と値域

- グラフ

を答える問題です。

(1) 逆正弦関数: $y = \sin^{-1}x$ (または $y = \arcsin x$)

(2) 逆余弦関数: $y = \cos^{-1}x$ (または $y = \arccos x$)

(3) 逆正接関数: $y = \tan^{-1}x$ (または $y = \arctan x$)

2. 解き方の手順

(1) 逆正弦関数 $y = \sin^{-1}x$ (または $y = \arcsin x$)

* **定義:** $y = \arcsin x$ は、$x = \sin y$ となる $y$ の値です。ただし、$y$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ に制限されます。これは、$\sin y$ が全範囲で逆関数を持つようにするためです。

* **定義域:** $-1 \leq x \leq 1$

* **値域:** $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

* **グラフ:**

y軸を基準として $y = \sin x$ ( $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ ) のグラフを反転させたものになります。

(2) 逆余弦関数 $y = \cos^{-1}x$ (または $y = \arccos x$)

* **定義:** $y = \arccos x$ は、$x = \cos y$ となる $y$ の値です。ただし、$y$ の範囲は $0 \leq y \leq \pi$ に制限されます。これは、$\cos y$ が全範囲で逆関数を持つようにするためです。

* **定義域:** $-1 \leq x \leq 1$

* **値域:** $0 \leq y \leq \pi$

* **グラフ:**

y軸を基準として $y = \cos x$ ( $0 \leq x \leq \pi$ ) のグラフを反転させたものになります。

(3) 逆正接関数 $y = \tan^{-1}x$ (または $y = \arctan x$)

* **定義:** $y = \arctan x$ は、$x = \tan y$ となる $y$ の値です。ただし、$y$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ に制限されます。これは、$\tan y$ が全範囲で逆関数を持つようにするためです。

* **定義域:** $-\infty < x < \infty$ (すべての実数)

* **値域:** $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

* **グラフ:**

y軸を基準として $y = \tan x$ ( $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ ) のグラフを反転させたものになります。

3. 最終的な答え

(1) 逆正弦関数 $y = \arcsin x$

* 定義: $x = \sin y$, $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

* 定義域: $-1 \leq x \leq 1$

* 値域: $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$

(2) 逆余弦関数 $y = \arccos x$

* 定義: $x = \cos y$, $0 \leq y \leq \pi$

* 定義域: $-1 \leq x \leq 1$

* 値域: $0 \leq y \leq \pi$

(3) 逆正接関数 $y = \arctan x$

* 定義: $x = \tan y$, $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

* 定義域: $-\infty < x < \infty$

* 値域: $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$

グラフについては、ここではテキストで表現するのが難しいので、説明文を参考にグラフを作成してください。