奇数の列を、1個、2個、4個、8個...と群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。 (2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。 (3) 157 は第何群の何番目の数かを求める。

1. 問題の内容

奇数の列を、1個、2個、4個、8個...と群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。

(3) 157 は第何群の何番目の数かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数を求める。

第 $n$ 群までの奇数の個数は、

$1 + 2 + 4 + ... + 2^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} 2^k = \frac{1(2^n - 1)}{2-1} = 2^n - 1$

したがって、第 $n$ 群の最初の奇数は、$2^n - 1$ 番目の奇数である。

奇数列の $m$ 番目の奇数は $2m-1$ であるから、第 $n$ 群の最初の奇数は

$2(2^n - 1) - 1 = 2^{n+1} - 3$

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和を求める。

第 $n$ 群に含まれる奇数は $2^{n-1}$ 個である。

第 $n$ 群の最初の奇数は $2^{n+1}-3$ であった。

したがって、第 $n$ 群の最後の奇数は、

$(2^{n+1} - 3) + 2(2^{n-1} - 1) = 2^{n+1} - 3 + 2^n - 2 = 3 \cdot 2^n - 5$

第 $n$ 群に含まれる奇数の和は、等差数列の和の公式を用いて、

$\frac{2^{n-1}}{2} \{(2^{n+1} - 3) + (3 \cdot 2^n - 5)\} = 2^{n-2} (5 \cdot 2^n - 8) = 5 \cdot 2^{2n-2} - 2^{n}$

$= 5 \cdot 4^{n-1} - 2^n$

(3) 157 は第何群の何番目の数かを求める。

奇数列の $m$ 番目の奇数は $2m-1$ であるから、$2m-1 = 157$ より $m=79$ である。

第 $n$ 群までの奇数の個数が $2^n - 1$ であるから、

$2^6 - 1 = 63$

$2^7 - 1 = 127$

より、157 は第 7 群に含まれる。

第 6 群までの奇数の個数は $2^6 - 1 = 63$ 個であるから、

157 は第 7 群の $79 - 63 = 16$ 番目の数である。

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の奇数: $2^{n+1}-3$

(2) 第 $n$ 群に含まれる奇数の和: $5 \cdot 4^{n-1} - 2^n$

(3) 157 は第 7 群の 16 番目の数