自然数 $n$ を用いて自然数を表1のように並べる。表1は、第1行には3で割り切れない自然数を小さい順に左から並べ、第2行には3で割り切れるが9では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる、という規則で構成されている。第1行に着目し、第1行第$n$列の数を $b_n$ とし、$T_m = \sum_{n=1}^{m} b_n$ とする。$T_{2m}$を求める問題。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

自然数 $n$ を用いて自然数を表1のように並べる。表1は、第1行には3で割り切れない自然数を小さい順に左から並べ、第2行には3で割り切れるが9では割り切れない自然数を小さい順に左から並べる、という規則で構成されている。第1行に着目し、第1行第$n$列の数を $b_n$ とし、$T_m = \sum_{n=1}^{m} b_n$ とする。$T_{2m}$を求める問題。

2. 解き方の手順

太郎さんの求め方：

太郎さんは、$m$ が奇数の時と偶数の時で場合分けをすることを考えている。

$b_{2m-1}$ は第1行の $2m-1$ 番目の数であり、$b_{2m}$ は第1行の $2m$ 番目の数である。

第1行には3で割り切れない自然数が並んでいるので、自然数から3の倍数を引けば、第1行の数列が得られる。

自然数の数列は $1, 2, 3, 4, 5, 6, ...$

3の倍数の数列は $3, 6, 9, ...$

$b_{2m-1}$ と $b_{2m}$ は、それぞれ自然数の中で3で割った余りが異なる。

$j$ を自然数として、$b_{2j-1} - b_{2j} = -1$ である。

花子さんの求め方：

花子さんは、数列 $\{b_n\}$ は、自然数を小さい方から順に並べた数列から、3の倍数である項を除いてできる数列であると考えている。

$m$ を自然数として、$T_{2m}$を求める。

$b_{2m-1} - b_{2m} = \text{カ}$ より、$T_{2m} = \text{ケ}$ である。

また、$b_{2m} = \text{カ} \cdot m - \text{ク}$ であるから、花子さんの求め方で考えることもできる。

$\text{カ}$以下のすべての自然数の和は $\text{コ}$ であり、$\text{カ}$ 以下の自然数のうち、3の倍数であるものの和は $\text{シ}$。

穴埋めを埋める。

$b_{2j}-b_{2j-1} = \text{カ}$ より、$b_{2j-1} - b_{2j} = -1$ より、$\text{カ} = -1$

$T_{2m} = \sum_{n=1}^{2m} b_n = \sum_{j=1}^m (b_{2j-1} + b_{2j}) = \sum_{j=1}^m (-1) = -m$　より、$\text{ケ} = -m$

$b_{2m}$ は、自然数を小さい方から順に並べた数列から、3の倍数を除いた数列であるので、$b_{2m} = (2m)$とする。

$b_{2m} = 3m - 1$ であるから $3m-1 = \text{カ} \cdot m - \text{ク}$ より、$\text{ク} = 1$

$b_{2m} = 3m - 1$

カ以下のすべての自然数の和：

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$n = 3m - 1$のとき、

$\sum_{k=1}^{3m-1} k = \frac{(3m-1)(3m)}{2}$

$\text{コ} = \frac{3m(3m-1)}{2}$

カ以下の自然数のうち、3の倍数であるものの和：

$\sum_{k=1}^m 3k = 3\sum_{k=1}^m k = 3 \frac{m(m+1)}{2} = \frac{3m(m+1)}{2}$

$\text{シ} = \frac{3m(m+1)}{2}$

3. 最終的な答え

カ：-1

ケ：-m

ク：1

コ：$\frac{3m(3m-1)}{2}$

シ：$\frac{3m(m+1)}{2}$