$2^5 \times 3^{10}$が何桁の数字であるかを求める問題です。$\log_{10} 2 \fallingdotseq 0.3010$、$\log_{10} 3 \fallingdotseq 0.4771$を利用します。$2^5 \times 3^{10}$が$k$桁ならば、$10^{k-1} \le 2^5 \times 3^{10} < 10^k$が成り立つことを利用して$k$を求めます。

1. 問題の内容

$2^5 \times 3^{10}$が何桁の数字であるかを求める問題です。$\log_{10} 2 \fallingdotseq 0.3010$、$\log_{10} 3 \fallingdotseq 0.4771$を利用します。$2^5 \times 3^{10}$が$k$桁ならば、$10^{k-1} \le 2^5 \times 3^{10} < 10^k$が成り立つことを利用して$k$を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$10^{k-1} \le 2^5 \times 3^{10} < 10^k$の各辺の常用対数をとります。

$\log_{10} 10^{k-1} \le \log_{10}(2^5 \times 3^{10}) < \log_{10} 10^k$

$\log_{10} 10^m = m$より、左辺は$k-1$、右辺は$k$となります。

真ん中の項は以下の様に計算できます。

$\log_{10}(2^5 \times 3^{10}) = 5 \log_{10} 2 + 10 \log_{10} 3$

$\fallingdotseq 5 \times 0.3010 + 10 \times 0.4771 = 1.505 + 4.771 = 6.276$

したがって、$k-1 \le 6.276 < k$

$k$は整数であるため、$k = 7$

3. 最終的な答え

$10^{k-1} \le 2^5 \times 3^{10} < \bf{10^k}$

$\log_{10} 10^{k-1} \le \log_{10}(2^5 \times 3^{10}) < \log_{10} \bf{10^k}$

$\log_{10} 10^m = m$より、不等式の左の項は$k-1$, 右側の項は$\bf{k}$である. そして, 真ん中の項は,

$\log_{10}(2^5 \times 3^{10}) = 5 \log_{10} 2 + \bf{10 \log_{10} 3}$

$\fallingdotseq 5 \times 0.3010 + \bf{10 \times 0.4771} = 1.505 + \bf{4.771} = 6.276.$

したがって,$k-1 \le 6.276 < \bf{7}$より,$2^5 \times 3^{10}$の桁数は$k = \bf{7}$である.