5つの数字0, 1, 2, 3, 4 を使って、同じ数字を重複して使ってよいものとする。以下の問いに答えよ。 (1) 3桁の自然数は何個あるか。 (2) 3桁以下の自然数は何個あるか。 (3) 123より小さい自然数は何個あるか。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4 を使って、同じ数字を重複して使ってよいものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 3桁の自然数は何個あるか。

(2) 3桁以下の自然数は何個あるか。

(3) 123より小さい自然数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の場合

百の位は0以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)から選ぶことができる。

十の位と一の位は、5つの数字(0, 1, 2, 3, 4)から選ぶことができる。

したがって、3桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 \times 5 = 100$

個である。

(2) 3桁以下の自然数の場合

1桁の自然数は、0以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)から選ぶことができるので、4個ある。

2桁の自然数は、十の位は0以外の4つの数字(1, 2, 3, 4)から選ぶことができ、一の位は5つの数字(0, 1, 2, 3, 4)から選ぶことができる。

したがって、2桁の自然数の個数は、

$4 \times 5 = 20$

個である。

3桁の自然数は、(1)で求めたように100個である。

したがって、3桁以下の自然数の個数は、

$4 + 20 + 100 = 124$

個である。

(3) 123より小さい自然数の場合

1桁の自然数は、1, 2, 3, 4 の4個である。

2桁の自然数は、

十の位が1のとき、一の位は0, 1, 2, 3, 4 の5個。

十の位が2, 3, 4 のとき、一の位は0, 1, 2, 3, 4 のそれぞれ5個。

合計で $5 + 3 \times 5 = 20$個。

3桁の自然数は、

100台：100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114, 120, 121, 122

120台は、120, 121, 122の3個

よって$4 + 20 + 13= 37$

123より小さい数は,

一桁: 1, 2, 3, 4 (4個)

二桁: 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44 (20個)

三桁:

100台: 100, 101, 102, 103, 104, 110, 111, 112, 113, 114, 120, 121, 122 (13個)

合計: $4+20+13 = 37$

3. 最終的な答え

(1) 100個

(2) 124個

(3) 37個