5つの数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して4個の数字を並べ、4桁の整数を作る。ただし、千の位に0を使用することはできない。 (1) 全部で何個の整数ができるか。 (2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数は何個あるか。 (3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数は何個あるか。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して4個の数字を並べ、4桁の整数を作る。ただし、千の位に0を使用することはできない。

(1) 全部で何個の整数ができるか。

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数は何個あるか。

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 全部で何個の整数ができるか。

千の位は0以外の4つの数字から選ぶことができる。残りの3つの位は、0, 1, 2, 3, 4の5つの数字から重複を許して選ぶことができる。したがって、4桁の整数の総数は、

$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$個。

(2) 少なくとも1つの位に1が含まれる整数は何個あるか。

まず、1が全く含まれない4桁の整数を作る。千の位は0, 1を除いた3つの数字から選ぶことができる。残りの3つの位は、0, 1を除いた4つの数字から選ぶことができる。したがって、1が全く含まれない4桁の整数の数は、

$3 \times 4 \times 4 \times 4 = 192$個。

したがって、少なくとも1つの位に1が含まれる4桁の整数の数は、

$500 - 192 = 308$個。

(3) 少なくとも1つの位に1または2が含まれる整数は何個あるか。

まず、1も2も全く含まれない4桁の整数を作る。千の位は0, 1, 2を除いた2つの数字から選ぶことができる。残りの3つの位は、0, 1, 2を除いた3つの数字から選ぶことができる。したがって、1も2も全く含まれない4桁の整数の数は、

$2 \times 3 \times 3 \times 3 = 54$個。

したがって、少なくとも1つの位に1または2が含まれる4桁の整数の数は、

$500 - 54 = 446$個。

3. 最終的な答え

(1) 500

(2) 308

(3) 446