(1) $\sqrt{24n}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。 (2) $\sqrt{54n}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。 (3) $\sqrt{\frac{28n}{3}}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。 (4) $\sqrt{\frac{80n}{7}}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。 (5) $\sqrt{8-n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。 (6) $\sqrt{20-a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求めなさい。

はい、承知いたしました。OCRの結果から、以下の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{24n}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

(2) $\sqrt{54n}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

(3) $\sqrt{\frac{28n}{3}}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

(4) $\sqrt{\frac{80n}{7}}$ の値が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求めなさい。

(5) $\sqrt{8-n}$ の値が自然数となるような自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。

(6) $\sqrt{20-a}$ の値が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{24n}$

$24 = 2^3 \times 3$ なので、$\sqrt{24n} = \sqrt{2^3 \times 3 \times n}$ が自然数になるためには、$n$ は $2$ と $3$ を含む必要があります。したがって、$n = 2 \times 3 = 6$

(2) $\sqrt{54n}$

$54 = 2 \times 3^3$ なので、$\sqrt{54n} = \sqrt{2 \times 3^3 \times n}$ が自然数になるためには、$n$ は $2$ と $3$ を含む必要があります。したがって、$n = 2 \times 3 = 6$

(3) $\sqrt{\frac{28n}{3}}$

$28 = 2^2 \times 7$ なので、$\sqrt{\frac{28n}{3}} = \sqrt{\frac{2^2 \times 7 \times n}{3}}$ が自然数になるためには、$n$ は $3$ と $7$ を含む必要があります。したがって、$n = 3 \times 7 = 21$

(4) $\sqrt{\frac{80n}{7}}$

$80 = 2^4 \times 5$ なので、$\sqrt{\frac{80n}{7}} = \sqrt{\frac{2^4 \times 5 \times n}{7}}$ が自然数になるためには、$n$ は $5$ と $7$ を含む必要があります。したがって、$n = 5 \times 7 = 35$

(5) $\sqrt{8-n}$

$\sqrt{8-n}$ が自然数になるためには、$8-n$ が $0$ 以上の平方数である必要があります。

$8-n$ が取りうる値は、0, 1, 4 です。

$8-n = 0$ のとき、$n = 8$

$8-n = 1$ のとき、$n = 7$

$8-n = 4$ のとき、$n = 4$

したがって、$n$ は 4, 7, 8 です。

(6) $\sqrt{20-a}$

$\sqrt{20-a}$ が自然数になるためには、$20-a$ が $0$ 以上の平方数である必要があります。

$20-a$ が取りうる値は、0, 1, 4, 9, 16 です。

$20-a = 0$ のとき、$a = 20$

$20-a = 1$ のとき、$a = 19$

$20-a = 4$ のとき、$a = 16$

$20-a = 9$ のとき、$a = 11$

$20-a = 16$ のとき、$a = 4$

したがって、$a$ は 4, 11, 16, 19, 20 です。

3. 最終的な答え

(1) $n = 6$

(2) $n = 6$

(3) $n = 21$

(4) $n = 35$

(5) $n = 4, 7, 8$

(6) $a = 4, 11, 16, 19, 20$