40人のクラスで100点満点の試験が行われた。未受験者がいたものの、平均点は60点であった。未受験者に対しては後日100点満点の追試験を行い、本試験の結果と合わせた40人の平均点は65点になった。このことから、本試験未受験者の最小人数と、本試験未受験者が10名の場合の10名の平均点を求める。

1. 問題の内容

40人のクラスで100点満点の試験が行われた。未受験者がいたものの、平均点は60点であった。未受験者に対しては後日100点満点の追試験を行い、本試験の結果と合わせた40人の平均点は65点になった。このことから、本試験未受験者の最小人数と、本試験未受験者が10名の場合の10名の平均点を求める。

2. 解き方の手順

(1) 本試験の未受験者の最小人数を求める。

まず、本試験の総得点を計算する。平均点が60点なので、

$40 \times 60 = 2400$点

次に、追試験後の総得点を計算する。平均点が65点なので、

$40 \times 65 = 2600$点

追試験によって増えた得点は、

$2600 - 2400 = 200$点

この増えた得点は、未受験者が追試験で得た点数の合計である。

未受験者が追試験で全員100点を取ったと仮定すると、未受験者の人数を最小にできる。

したがって、未受験者の最小人数は、

$200 \div 100 = 2$人

(2) 本試験の未受験者が10名の場合の平均点を求める。

未受験者が10名なので、追試験によって増えた得点は200点である。

この200点は、10人の未受験者が追試験で得た点数の合計である。

したがって、10人の未受験者の平均点は、

$200 \div 10 = 20$点

本試験の平均点は、追試後の平均点を考慮して、

本試験の未受験者以外の受験者数を$x$とする。

本試験の未受験者10人の合計点を$y$とする。

追試後の平均点は65点なので、

$\frac{60x + 1000}{40} = 65$

$60x + y = 2400$

$x = 40 - 10 = 30$

$30 \times 60 + y = 2400$

$1800 + y = 2400$

$y = 600$

10人の平均点は $600 \div 10 = 60$点

3. 最終的な答え

本試験未受験者の最小人数は2名である。

本試験未受験者が10名の場合、この10名の平均点は60点である。