与えられた3つの根号を簡単にする問題です。 1. $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの根号を簡単にする問題です。

1. $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$

2. $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$

3. $\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$

2. 解き方の手順

1. $\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}$について

$7 + 4\sqrt{3}$ を $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の形に変形することを考えます。

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}$ なので、$2ab = 4\sqrt{3}$ となるように $a$ と $b$ を探します。

$a = 2$、$b = \sqrt{3}$ とすると、 $2ab = 4\sqrt{3}$ となります。

このとき、$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$ となり、与えられた式と一致します。

したがって、 $7 + 4\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^2$ となります。

よって、$\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$

2. $\sqrt{2 - \sqrt{3}}$について

$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を $\sqrt{\frac{a}{2}} - \sqrt{\frac{b}{2}}$の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{\frac{a}{2}} - \sqrt{\frac{b}{2}})^2 = \frac{a}{2} - 2\sqrt{\frac{ab}{4}} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$

$\frac{a+b}{2} = 2$かつ$\sqrt{ab} = \sqrt{3}$となるa,bを探します。

$a+b = 4$, $ab=3$. よって、$a=3$, $b=1$

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} - \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. $\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$について

$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}}$ を $\sqrt{\frac{a}{2}} - \sqrt{\frac{b}{2}}$の形に変形することを考えます。

$(\sqrt{\frac{a}{2}} - \sqrt{\frac{b}{2}})^2 = \frac{a}{2} - 2\sqrt{\frac{ab}{4}} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$

$\frac{a+b}{2} = 7$かつ$\sqrt{ab} = \frac{3\sqrt{5}}{2}$となるa,bを探します。

$a+b = 14$, $ab=\frac{45}{4}$. よって、$4a+4b = 56$, $16ab=180$.

$a,b = \frac{7 \pm \sqrt{49 - \frac{45}{4}}}{2} = \frac{28 \pm \sqrt{196 - 45}}{8} = \frac{28 \pm \sqrt{151}}{8}$

これは単純な形に変形できなさそうです。

変形する方法を変えます。

$7 - 3\sqrt{5} = \frac{14 - 6\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$となる$a,b$を探します。

$a+b=14$ and $ab=45$, $a,b = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2} = 9, 5$

$\sqrt{7 - 3\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{9} - \sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

1. $2 + \sqrt{3}$

2. $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

3. $\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{10}}{2}$