以下の３つの等差数列の和を求める問題です。 (1) $50 + 51 + 52 + ... + 100$ (2) $1 + 3 + 5 + ... + 101$ (奇数の和) (3) $2 + 4 + 6 + ... + 150$ (偶数の和)

1. 問題の内容

以下の３つの等差数列の和を求める問題です。

(1) $50 + 51 + 52 + ... + 100$

(2) $1 + 3 + 5 + ... + 101$ (奇数の和)

(3) $2 + 4 + 6 + ... + 150$ (偶数の和)

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式を使います。等差数列の和の公式は、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$S$は数列の和、$n$は項数、$a_1$は初項、$a_n$は末項です。

(1) $50 + 51 + 52 + ... + 100$

初項 $a_1 = 50$, 末項 $a_n = 100$ です。項数は $100 - 50 + 1 = 51$ です。したがって、$n = 51$ です。

$S = \frac{51(50 + 100)}{2} = \frac{51(150)}{2} = 51 \times 75 = 3825$

(2) $1 + 3 + 5 + ... + 101$ (奇数の和)

初項 $a_1 = 1$, 末項 $a_n = 101$ です。公差は $2$ です。

一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$ より、$101 = 1 + (n-1)2$。

$100 = (n-1)2$

$50 = n-1$

$n = 51$

したがって、

$S = \frac{51(1 + 101)}{2} = \frac{51(102)}{2} = 51 \times 51 = 2601$

(3) $2 + 4 + 6 + ... + 150$ (偶数の和)

初項 $a_1 = 2$, 末項 $a_n = 150$ です。公差は $2$ です。

一般項は、$a_n = a_1 + (n-1)d$ より、$150 = 2 + (n-1)2$。

$148 = (n-1)2$

$74 = n-1$

$n = 75$

したがって、

$S = \frac{75(2 + 150)}{2} = \frac{75(152)}{2} = 75 \times 76 = 5700$

3. 最終的な答え

(1) 3825

(2) 2601

(3) 5700