正の整数 $n$ と 24 の最小公倍数が 240 であるような $n$ を全て求める。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ と 24 の最小公倍数が 240 であるような $n$ を全て求める。

2. 解き方の手順

まず、24 と 240 を素因数分解する。

$24 = 2^3 \cdot 3$

$240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$

$n$ を素因数分解すると、$n = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ と表せる。

$n$ と 24 の最小公倍数が 240 であることから、以下の条件が成り立つ。

$max(a, 3) = 4$

$max(b, 1) = 1$

$max(c, 0) = 1$

これらの条件を満たす $a, b, c$ を考える。

$max(a, 3) = 4$ より、$a = 4$。

$max(b, 1) = 1$ より、$b = 0, 1$。

$max(c, 0) = 1$ より、$c = 1$。

したがって、$n = 2^4 \cdot 3^b \cdot 5^1$ となり、$b=0, 1$ であるから、

$n = 2^4 \cdot 3^0 \cdot 5^1 = 16 \cdot 1 \cdot 5 = 80$

$n = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$

3. 最終的な答え

$n = 80, 240$