6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個の数字を選んで並べ、4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。 (1) 4桁の整数は何個作れるか。 (2) 4桁の偶数は何個作れるか。 (3) 2400よりも大きい4桁の整数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個の数字を選んで並べ、4桁の整数を作る。以下の問いに答えよ。

(1) 4桁の整数は何個作れるか。

(2) 4桁の偶数は何個作れるか。

(3) 2400よりも大きい4桁の整数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

まず、千の位には0以外の数字が入るので、千の位の選び方は5通りある。

次に、百の位は千の位で使った数字以外の5個の数字から選ぶので、5通り。

十の位は千の位と百の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので、4通り。

一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3個の数字から選ぶので、3通り。

よって、4桁の整数の個数は $5 \times 5 \times 4 \times 3$ で計算できる。

(2) 4桁の偶数

一の位が偶数（0, 2, 4）の場合と、一の位が0でない偶数（2, 4）の場合に分けて考える。

(i) 一の位が0の場合：

千の位は0以外の5個の数字から選ぶので5通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3個の数字から選ぶので3通り。

よって、この場合は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

(ii) 一の位が2または4の場合：

一の位の選び方は2通り。

千の位は0と一の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので4通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので4通り。

十の位は千の位、百の位、一の位で使った数字以外の3個の数字から選ぶので3通り。

よって、この場合は $2 \times 4 \times 4 \times 3 = 96$ 個。

したがって、4桁の偶数の個数は $60 + 96$ で計算できる。

(3) 2400よりも大きい4桁の整数

千の位が2, 3, 4, 5の場合に分けて考える。

(i) 千の位が3, 4, 5の場合：

千の位の選び方は3通り。

百の位は千の位で使った数字以外の5個の数字から選ぶので5通り。

十の位は千の位と百の位で使った数字以外の4個の数字から選ぶので4通り。

一の位は千の位、百の位、十の位で使った数字以外の3個の数字から選ぶので3通り。

よって、この場合は $3 \times 5 \times 4 \times 3 = 180$ 個。

(ii) 千の位が2の場合：

百の位が4または5の場合を考える。

百の位が4, 5のときは、十の位は残りの4個の数字から選び、一の位は残りの3個の数字から選ぶ。

この場合は $2 \times 4 \times 3 = 24$ 個。

百の位が3のときは、千の位から百の位は23XXなので条件を満たさない。

したがって、2400よりも大きい4桁の整数の個数は $180 + 24$ で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数: $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個

(2) 4桁の偶数: $60 + 96 = 156$ 個

(3) 2400よりも大きい4桁の整数: $180 + 24 = 204$ 個