10円硬貨が5枚、100円硬貨が4枚、500円硬貨が3枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使ってちょうど支払うことができる金額は何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

10円硬貨が5枚、100円硬貨が4枚、500円硬貨が3枚あるとき、これらの硬貨の一部または全部を使ってちょうど支払うことができる金額は何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの硬貨の枚数から作れる金額のパターン数を考えます。

* 10円硬貨：0枚, 1枚, 2枚, 3枚, 4枚, 5枚 の6通り ($0 \leq x \leq 5$)

* 100円硬貨：0枚, 1枚, 2枚, 3枚, 4枚 の5通り ($0 \leq y \leq 4$)

* 500円硬貨：0枚, 1枚, 2枚, 3枚 の4通り ($0 \leq z \leq 3$)

それぞれの硬貨の選び方を掛け合わせると、

$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通り

しかし、この中には1枚も硬貨を使わない「0円」の場合が含まれています。問題文より少なくとも1枚は使用する必要があるため、0円の場合を除外する必要があります。

さらに、金額が重複する場合を考慮する必要があります。

まず、10円硬貨だけで作れる最大の金額は $10 \times 5 = 50$ 円です。

100円硬貨だけで作れる最大の金額は $100 \times 4 = 400$ 円です。

500円硬貨だけで作れる最大の金額は $500 \times 3 = 1500$ 円です。

金額の重複について確認します。10円硬貨の金額は100円、500円硬貨に影響を与えないため、考慮する必要はありません。

次に、作れない金額があるかどうかを検討します。

1円単位から作れない金額が存在する可能性はないため、すべての組み合わせを考慮します。

それぞれの硬貨の枚数の組み合わせから得られる金額はすべて異なるので、重複はありません。

したがって、120通りから0円の場合を除いた 119通りが答えとなります。

3. 最終的な答え

119通り