問題1：360の正の約数の個数を求めます。 問題2：0, 1, 2, 3, 4の5つの数字から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき、 (1) 3桁の整数は何個できるか。 (2) 3桁の偶数は何個できるか。

1. 問題の内容

問題1：360の正の約数の個数を求めます。

問題2：0, 1, 2, 3, 4の5つの数字から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作るとき、

(1) 3桁の整数は何個できるか。

(2) 3桁の偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

問題1：360の正の約数の個数を求める。

まず、360を素因数分解します。

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数の値に1を足したものを掛け合わせたものになります。

$(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$

問題2(1)：3桁の整数の個数を求める。

百の位には0以外の数字が入るので、百の位の選び方は4通りです。

十の位には、百の位で使った数字以外の4つの数字から1つ選ぶので、4通りです。

一の位には、百の位と十の位で使った数字以外の3つの数字から1つ選ぶので、3通りです。

したがって、3桁の整数は $4 \times 4 \times 3 = 48$ 個できます。

問題2(2)：3桁の偶数の個数を求める。

一の位が0, 2, 4の場合に分けて考えます。

(i) 一の位が0の場合：

百の位には0以外の4つの数字から1つ選ぶので、4通りです。

十の位には、百の位と一の位で使った数字以外の3つの数字から1つ選ぶので、3通りです。

したがって、$4 \times 3 = 12$ 個できます。

(ii) 一の位が2または4の場合：

一の位の選び方は2通りです。

百の位には0と一の位で使った数字以外の3つの数字から1つ選ぶので、3通りです。

十の位には、百の位と一の位で使った数字以外の3つの数字から1つ選ぶので、3通りです。

したがって、$2 \times 3 \times 3 = 18$ 個できます。

(i)と(ii)を合わせて、$12 + 18 = 30$ 個できます。

3. 最終的な答え

問題1：24個

問題2(1)：48個

問題2(2)：30個