6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで3桁の自然数を作ります。 (1) 3桁の自然数は何通りできるか。 (2) 3桁の自然数のうち、2の倍数は何通りできるか。 (3) 3桁の自然数のうち、3の倍数は何通りできるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3個を選んで3桁の自然数を作ります。

(1) 3桁の自然数は何通りできるか。

(2) 3桁の自然数のうち、2の倍数は何通りできるか。

(3) 3桁の自然数のうち、3の倍数は何通りできるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の自然数の個数

百の位には0以外の数字が入るので、5通りの選択肢があります。

十の位には、百の位で使用した数字以外の数字が入るので、5通りの選択肢があります。

一の位には、百の位と十の位で使用した数字以外の数字が入るので、4通りの選択肢があります。

したがって、3桁の自然数の個数は、 $5 \times 5 \times 4 = 100$ 通りです。

(2) 2の倍数の個数

3桁の自然数が2の倍数になるためには、一の位が0, 2, 4である必要があります。

i) 一の位が0の場合：百の位は0以外なので5通り、十の位は残りの4通り。よって $5 \times 4 = 20$ 通り。

ii) 一の位が2または4の場合：

百の位が0の場合：残りの4通りのうちの一つが入る。十の位は残りの4通り。

百の位が0でない場合：

一の位が2または4なので2通り。

百の位は0以外の4通り。

十の位は残りの4通り。

よって、 $2 \times 4 \times 4 = 32$通り。

したがって、2の倍数の個数は $20 + 32 = 52$通りです。

(3) 3の倍数の個数

3桁の自然数が3の倍数になるためには、各位の数字の和が3の倍数になる必要があります。

使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4, 5です。

3つの数字の和が3の倍数になる組み合わせは、

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 3, 3), (0, 3, 6), (0, 4, 5), (1, 2, 3), (1, 2, 6)

(1, 3, 5), (1, 4, 4), (1, 5, 6), (2, 3, 4), (2, 4, 6), (2, 5, 5), (3, 4, 5), (3, 6, 6)

(4, 5, 6), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)

の数字を3つ選んだ組み合わせは以下の通りです。

(0, 1, 2), (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 3, 3), (0, 4, 5), (1, 2, 3), (1, 3, 5), (1, 4, 7)

(2, 3, 4), (2, 5, 8), (3, 4, 5)

和が3の倍数になる組み合わせは、

(0, 1, 2): 3! - 2! = 6 - 2 = 4

(0, 1, 5): 3! - 2! = 4

(0, 2, 4): 3! - 2! = 4

(0, 3, 6): 3! - 2! = 4 (6は使えない)

(0, 4, 5): 3! - 2! = 4

(1, 2, 3): 3! = 6

(1, 3, 5): 3! = 6

(2, 3, 4): 3! = 6

(3, 4, 5): 3! = 6

(1, 5, 0)

(2, 1, 0)

(2, 4, 0)

(4, 5, 0)

(1, 2, 3)

(1, 3, 5)

(2, 3, 4)

(3, 4, 5)

(0, 1, 2) -> 4通り

(0, 1, 5) -> 4通り

(0, 2, 4) -> 4通り

(0, 4, 5) -> 4通り

(1, 2, 3) -> 6通り

(1, 3, 5) -> 6通り

(2, 3, 4) -> 6通り

(3, 4, 5) -> 6通り

合計: 4 * 4 + 6 * 4 = 16 + 24 = 40

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 52通り

(3) 40通り