$\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。 $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ という公式を利用することを考えます。

まず、$56$ を $ab$ の形に分解することを考えます。$56 = 4 \times 14 = 7 \times 8$ となります。

$9$ は $a+b$ の形になる必要があるため、$7+2 = 9$, $7 \times 2$ ではありません。

$7+2=9$の組み合わせは、$9+\sqrt{56} = 7+2+\sqrt{4\cdot 14} = 7+2+2\sqrt{14}$となりうまくいきません。

$56= 7 \times 8$ の場合、$a+b=9$ となるように$a$と$b$を決めると、$a=7$, $b=2$では、$a+b = 7+2 = 9$。

$\sqrt{56} = \sqrt{7 \times 8}= \sqrt{7} \sqrt{8}$

しかし、$\sqrt{9+\sqrt{56}}$では$2\sqrt{ab}$の形になっていないため、工夫が必要です。

$\sqrt{56} = 2\sqrt{14}$なので、$9+\sqrt{56} = 9+2\sqrt{14}$

$a+b = 9$, $ab=14$となる$a,b$を探します。

$a=7,b=2$とすると、$a+b = 7+2=9$ であり、$ab=7 \times 2 = 14$ です。

したがって、$9+2\sqrt{14} = 7+2+2\sqrt{7 \times 2} = (\sqrt{7}+\sqrt{2})^2$ となります。

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7}+\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{7}+\sqrt{2}$