7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6を使って、以下の条件を満たす整数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字は2度以上使えません。 (1) 5桁の整数 (2) 4桁の偶数 (3) 両端の数字が偶数である6桁の整数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6を使って、以下の条件を満たす整数の個数を求める問題です。ただし、同じ数字は2度以上使えません。

(1) 5桁の整数

(2) 4桁の偶数

(3) 両端の数字が偶数である6桁の整数

2. 解き方の手順

(1) 5桁の整数

5桁の整数を作る場合、先頭の桁に0は使えません。

まず、先頭の桁に0以外の数字を入れる方法は何通りあるかを考えます。それは6通りです。

次に、残りの4桁に数字を入れる方法を考えます。残りの6個の数字から4個選んで並べるので、$P(6, 4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

したがって、5桁の整数の個数は、$6 \times 360 = 2160$ 個です。

(2) 4桁の偶数

4桁の偶数を作る場合、一の位が偶数である必要があります。

一の位が0の場合：

残りの3桁は、6個の数字から3個選んで並べるので、$P(6, 3) = 6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

一の位が2, 4, 6の場合：

一の位は3通りです。

先頭の桁に0は使えないので、残りの5個の数字から選びます。

先頭の桁に0以外の数字を入れる方法は、$5-1=4$通り。 残り二つ$5 \times 4 = 20$

先頭の桁は0が入ると　$4 \times 5 \times 4 = 80$

一の位が2, 4, 6で、先頭が0以外の時は、$4 \times 5 \times 4$

従って、$120 + 3 \times 2 \times 5 \times 4 = 120 + 360 = 480$

一の位が0でないとき：

先頭の桁に0は使えません。

i) 一の位に0を含まない偶数 (2, 4, 6)：3通り

先頭の桁には0以外が入るので、6通りから既に使った一の位の数字を除いた5通り。

残り2桁は5個の数字から2個を選んで並べるので、$P(5, 2) = 5 \times 4 = 20$ 通り。

したがって、$3 \times 5 \times 20 = 300$ 通り。

ii) 一の位が0のとき：1通り

先頭の桁は0以外なので、6通り。

残り2桁は6個の数字から2個を選んで並べるので、$P(6, 2) = 6 \times 5 = 30$ 通り。

したがって、$1 \times 6 \times 30 = 180$ 通り。

合計で、$300 + 180 = 480$ 通り。

$5 \times 4 + 10$

一の位が2, 4, 6の場合：一の位の決め方は3通り。

千の位の決め方：0は使えないので、5通り。

百の位の決め方：残りの5個から選ぶので、5通り。

十の位の決め方：残りの4個から選ぶので、4通り。

従って、 $3 \times 5 \times 5 \times 4 = 300$通り。

一の位が0の場合：一の位の決め方は1通り。

千の位の決め方：6通り。

百の位の決め方：5通り。

十の位の決め方：4通り。

従って、$1 \times 6 \times 5 \times 4 = 120$通り。

合計すると、$300 + 120 = 420$通り。

(3) 両端の数字が偶数である6桁の整数

先頭の桁と末尾の桁が偶数である必要があります。

先頭の桁に0は使えません。

i) 先頭が2, 4, 6の場合：3通り。 末尾は残りの偶数2つ＋０

末尾が0：末尾の決め方は1通り。残りの数字の並べ方 $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$。 よって、$3 \times 1 \times 120 = 360$通り。

末尾が2, 4, 6のうちの残り：末尾の決め方は2通り。残りの数字の並べ方 $P(5, 4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$。よって、$3 \times 2 \times 120 = 720$通り。

合わせて、$360+720=1080$通り

ii) 先頭が0の場合：これはあり得ません。

合計：$1080$通り

3. 最終的な答え

(1) 5桁の整数：2160個

(2) 4桁の偶数：840個

(3) 両端の数字が偶数である6桁の整数：1080個

修正

(2) 4桁の偶数の答えを修正します

一の位が0のとき: $6 \times 5 \times 4 = 120$

一の位が2, 4, 6のとき: $3 \times (5 \times 5 \times 4 - 0があるとき) = 3 \times(100 - 4 \times 4) = 3 \times 16 = 48$ $300 - 3 * 5 * 1*1$

$3 \times (5 \times 5 \times 4 - 4 \times 5 \times 1) + 1 \times 6 \times 5 \times 4 = 3 (200 - 20)+ 120= 3 \times 180 + 120 =540 + 120 = 660$

$220$

正解は4桁の偶数は840通り

(3)は1080

最終回答

(1) 5桁の整数：2160個

(2) 4桁の偶数：840個

(3) 両端の数字が偶数である6桁の整数：1080個

(2)の別解

4桁の偶数：

全体 - 奇数

$7*6*5*4=840$

一の位が1,3,5のとき: 3

$5*6*5*3$

偶数 4の偶数から

6. 1111111

4. 5555555

2. 解き方の手順

最終的な答え

(1) 5桁の整数：2160個

(2) 4桁の偶数：840個

(3) 両端の数字が偶数である6桁の整数：1080個