正の整数 $n$ と $24$ の最小公倍数が $504$ であるような $n$ をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

正の整数 $n$ と $24$ の最小公倍数が $504$ であるような $n$ をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$24$ と $504$ を素因数分解します。

$24 = 2^3 \cdot 3$

$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$

$n$ の素因数分解を $n = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c$ とします（$a, b, c$ は非負整数）。

$n$ と $24$ の最小公倍数が $504$ であることから、以下のことが言えます。

* $2^{\max(a, 3)} = 2^3$

* $3^{\max(b, 1)} = 3^2$

* $7^{\max(c, 0)} = 7^1$

これらの式から、$a, b, c$ の値を決定します。

* $2^{\max(a, 3)} = 2^3$ より、$\max(a, 3) = 3$ なので、$a \le 3$。よって、$a = 0, 1, 2, 3$。

* $3^{\max(b, 1)} = 3^2$ より、$\max(b, 1) = 2$ なので、$b = 2$。

* $7^{\max(c, 0)} = 7^1$ より、$\max(c, 0) = 1$ なので、$c = 1$。

したがって、$n = 2^a \cdot 3^2 \cdot 7^1$ で、$a = 0, 1, 2, 3$ です。

$n$ の候補は以下のようになります。

* $a = 0$ のとき、$n = 2^0 \cdot 3^2 \cdot 7 = 1 \cdot 9 \cdot 7 = 63$

* $a = 1$ のとき、$n = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 7 = 2 \cdot 9 \cdot 7 = 126$

* $a = 2$ のとき、$n = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7 = 4 \cdot 9 \cdot 7 = 252$

* $a = 3$ のとき、$n = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 7 = 504$

3. 最終的な答え

$n = 63, 126, 252, 504$