与えられた3つの数について、正の約数の個数と、それらの約数の総和をそれぞれ求める問題です。 (1) $5 \cdot 2^3$ (2) $108$ (3) $540$

1. 問題の内容

与えられた3つの数について、正の約数の個数と、それらの約数の総和をそれぞれ求める問題です。

(1) $5 \cdot 2^3$

(2) $108$

(3) $540$

2. 解き方の手順

ある数 $n$ が素因数分解で $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ と表されるとき、

約数の個数は $(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1)$ で計算できます。

約数の総和は $(1 + p_1 + p_1^2 + \cdots + p_1^{a_1})(1 + p_2 + p_2^2 + \cdots + p_2^{a_2})\cdots(1 + p_k + p_k^2 + \cdots + p_k^{a_k})$ で計算できます。

(1) $5 \cdot 2^3 = 5^1 \cdot 2^3$ について

約数の個数は $(1+1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8$ 個

約数の総和は $(1+5)(1+2+2^2+2^3) = 6(1+2+4+8) = 6 \cdot 15 = 90$

(2) $108$ について

$108 = 2^2 \cdot 3^3$ と素因数分解できます。

約数の個数は $(2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$ 個

約数の総和は $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3) = (1+2+4)(1+3+9+27) = 7 \cdot 40 = 280$

(3) $540$ について

$540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$ と素因数分解できます。

約数の個数は $(2+1)(3+1)(1+1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ 個

約数の総和は $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) = (1+2+4)(1+3+9+27)(6) = 7 \cdot 40 \cdot 6 = 1680$

3. 最終的な答え

(1) 約数の個数: 8個, 約数の総和: 90

(2) 約数の個数: 12個, 約数の総和: 280

(3) 約数の個数: 24個, 約数の総和: 1680