与えられた数について、正の約数の個数と、その約数の総和を求める問題です。 (1) $5 \cdot 2^3$ (2) 108 (3) 540

1. 問題の内容

与えられた数について、正の約数の個数と、その約数の総和を求める問題です。

(1) $5 \cdot 2^3$

(2) 108

(3) 540

2. 解き方の手順

正の約数の個数と総和を求めるには、まず与えられた数を素因数分解します。

素因数分解の結果が $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdots p_n^{e_n}$ であるとき、約数の個数は $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_n+1)$ であり、約数の総和は $(1+p_1+p_1^2+\cdots+p_1^{e_1})(1+p_2+p_2^2+\cdots+p_2^{e_2})\cdots(1+p_n+p_n^2+\cdots+p_n^{e_n})$ で計算できます。

(1) $5 \cdot 2^3 = 5^1 \cdot 2^3$

約数の個数は $(1+1)(3+1) = 2 \cdot 4 = 8$ 個です。

約数の総和は $(1+5)(1+2+2^2+2^3) = 6(1+2+4+8) = 6 \cdot 15 = 90$ です。

(2) $108 = 2^2 \cdot 3^3$

約数の個数は $(2+1)(3+1) = 3 \cdot 4 = 12$ 個です。

約数の総和は $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3) = (1+2+4)(1+3+9+27) = 7 \cdot 40 = 280$ です。

(3) $540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$

約数の個数は $(2+1)(3+1)(1+1) = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ 個です。

約数の総和は $(1+2+2^2)(1+3+3^2+3^3)(1+5) = (1+2+4)(1+3+9+27)(6) = 7 \cdot 40 \cdot 6 = 280 \cdot 6 = 1680$ です。

3. 最終的な答え

(1) 約数の個数: 8個、約数の総和: 90

(2) 約数の個数: 12個、約数の総和: 280

(3) 約数の個数: 24個、約数の総和: 1680