$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$は正の整数で、$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$とする。 2つの集合$A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$、$B = \{a_1^2, a_2^2, a_3^2, a_4^2, a_5^2\}$について、次の条件(i)~(iii)を満たす集合Aを求める。 (i) $A \cap B = \{a_2, a_5\}$ (ii) $a_2 + a_5 = 20$ (iii) $A \cup B$に属する整数の和は444

1. 問題の内容

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$は正の整数で、$a_1 < a_2 < a_3 < a_4 < a_5$とする。

2つの集合$A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$、$B = \{a_1^2, a_2^2, a_3^2, a_4^2, a_5^2\}$について、次の条件(i)~(iii)を満たす集合Aを求める。

(i) $A \cap B = \{a_2, a_5\}$

(ii) $a_2 + a_5 = 20$

(iii) $A \cup B$に属する整数の和は444

2. 解き方の手順

(i)の条件から、$a_2$と$a_5$は、$A$と$B$の両方に属する。したがって、$a_2$と$a_5$はそれぞれ$A$の要素であり、$B$の要素でもあるので、$a_2 = a_i^2$と$a_5 = a_j^2$となるような$i,j \in \{1,2,3,4,5\}$が存在する。さらに、$A \cap B = \{a_2, a_5\}$であるから、$a_2^2 = a_2$ または $a_2^2 = a_5$。同様に、$a_5^2 = a_2$ または $a_5^2 = a_5$。

$a_2^2 = a_2$の場合、$a_2=1$となる。しかし、$a_2 + a_5 = 20$より、$a_5 = 19$。$a_5^2=19^2=361 \neq a_5$となり、これは矛盾する。

したがって、$a_2^2=a_5$である。同様に$a_5^2 = a_5$の場合、$a_5 = 1$となり、$a_5>a_2$であることに反する。したがって、$a_5^2=a_2$とはならない。$a_5 = a_5^2$は$a_5=1$を意味するが、$a_5$は最大値であるため、$a_2 < a_5$を満たさない。よって、$a_2 = a_k^2$ および $a_5 = a_5^2$である。

$a_2 = a_k^2$から、$a_2$は平方数であり、$a_5$は$a_5 = a_5^2$より、$a_5 = 1$となるが、$a_5$は最大値であり、$a_2 < a_5$を満たさないので、これはありえない。

したがって、$a_2$と$a_5$は、$A$と$B$の共通要素であり、$a_2 + a_5 = 20$を満たす。また、$a_2 = a_i^2$かつ$a_5 = a_j^2$となる$i,j$が存在する。

(ii)の条件$a_2 + a_5 = 20$より、$a_2 < a_5$であるから、$a_2 < 10$である。考えられる$a_2$の値は、平方数であるから、$a_2 = 1, 4, 9$。

もし、$a_2 = 1$のとき、$a_5 = 19$。

もし、$a_2 = 4$のとき、$a_5 = 16$。

もし、$a_2 = 9$のとき、$a_5 = 11$。

ここで、$A \cup B$に属する整数の和は444である。

$A \cup B = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_1^2, a_3^2, a_4^2\}$

$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_1^2 + a_3^2 + a_4^2 = 444$

場合分けを行う。

(1) $a_2 = 4, a_5 = 16$のとき。

$a_1 + 4 + a_3 + a_4 + 16 + a_1^2 + a_3^2 + a_4^2 = 444$

$a_1 + a_3 + a_4 + a_1^2 + a_3^2 + a_4^2 = 424$

$a_1 < 4 < a_3 < a_4 < 16$

$a_1 = 1, a_3 = 5, a_4 = 6$ のとき、$1 + 5 + 6 + 1 + 25 + 36 = 74$ (小さい)

$a_1 = 1, a_3 = 10, a_4 = 15$ のとき、$1 + 10 + 15 + 1 + 100 + 225 = 352$ (小さい)

$a_1 = 2, a_3 = 10, a_4 = 15$ のとき、$2 + 10 + 15 + 4 + 100 + 225 = 356$ (小さい)

$a_1 = 3, a_3 = 10, a_4 = 15$ のとき、$3 + 10 + 15 + 9 + 100 + 225 = 362$ (小さい)

(2) $a_2 = 9, a_5 = 11$のとき。

$a_1 + 9 + a_3 + a_4 + 11 + a_1^2 + a_3^2 + a_4^2 = 444$

$a_1 + a_3 + a_4 + a_1^2 + a_3^2 + a_4^2 = 424 - 20 = 424$

$a_1 < 9 < a_3 < a_4 < 11$

$a_3 = 10$

$a_1 + 10 + a_4 + a_1^2 + 100 + a_4^2 = 424$

$a_1 + a_4 + a_1^2 + a_4^2 = 314$

$a_1 = 1, a_4 = 10$ はありえない

$a_1 = 1, a_3 = 10, a_4 = 11$ の時 $a_5=11$のため$a_4 < a_5$ を満たさない。

条件(i)より、$a_2$と$a_5$は$A$と$B$の共通要素であるため、$a_2 = a_i^2$と$a_5 = a_j^2$を満たす$i,j \in \{1,2,3,4,5\}$が存在する。ここで、$a_2 = a_2^2$または$a_5 = a_5^2$が成り立つ可能性がある。

$a_2=a_2^2$の時、$a_2=1$である。$a_2 + a_5 = 20$なので、$a_5=19$である。$a_1 < a_2$であるため$a_1$には自然数が入る。

$a_5=a_5^2$の時、$a_5=1$である。$a_2 + a_5 = 20$なので、$a_2=19$となるが、$a_2 < a_5$を満たさない。

ここで、$a_1=6, a_2=8, a_3=10, a_4=14, a_5=16$を考える。

$A = \{6, 8, 10, 14, 16\}$

$B = \{36, 64, 100, 196, 256\}$

(i)を満たさない。

$a_1=6, a_2=4, a_3=10, a_4=14, a_5=16$

$A = \{6, 4, 10, 14, 16\}$

$B = \{36, 16, 100, 196, 256\}$

$A = \{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5\}$、$a_2 = a_i^2$かつ$a_5 = a_j^2$

(ii) $a_2+a_5 = 20$

$a_2=4, a_5=16$, よって$i=2, j=5$

$a_1+4+a_3+a_4+16+a_1^2+a_3^2+a_4^2=444$

$a_1+a_3+a_4+a_1^2+a_3^2+a_4^2=424$

$a_1=5, a_3=7, a_4=15, a_5=16$

$5+7+15+25+49+225 = 326$

$a_1=6, a_3=7, a_4=15, a_5=16$

$a_1=7, a_2=4, a_3=9, a_4=10, a_5=16$

$7+4+9+10+16+49+81+100=176$

$A = \{7, 4, 9, 10, 16\}$, $B=\{49, 16, 81, 100, 256\}$

$A\cap B = \{ \}$

$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$は$a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$を満たさない

3. 最終的な答え

集合Aは存在しません。