自然数の列がいくつかの群に分けられている。第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入る。 (1) $n \ge 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

自然数の列がいくつかの群に分けられている。第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入る。

(1) $n \ge 2$ のとき、第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

第 $n$ 群の最初の数を求めるためには、第 $n-1$ 群までの項数の合計を求める必要がある。

第 $k$ 群の項数は $2^{k-1}$ であるから、第 $n-1$ 群までの項数の合計は、

$$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-2}$$

これは初項 1、公比 2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$$\frac{1(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$$

したがって、第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}-1 + 1 = 2^{n-1}$ である。

この式は $n=1$ のときも成り立つ。

(2)

第 $n$ 群の最初の数は $2^{n-1}$ であり、第 $n$ 群には $2^{n-1}$ 個の数が入る。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は $2^{n-1} + 2^{n-1} - 1 = 2^n - 1$ である。

第 $n$ 群の数の和 $S$ は、初項 $2^{n-1}$、末項 $2^n - 1$、項数 $2^{n-1}$ の等差数列の和であるから、

$$S = \frac{2^{n-1}(2^{n-1} + 2^n - 1)}{2} = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2^n - 1)$$

$$S = 2^{n-2}(2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1) = 2^{n-2}(3 \cdot 2^{n-1} - 1)$$

$$S = 3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数：$2^{n-1}$

(2) 第 $n$ 群に入るすべての数の和 $S$： $3 \cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$