正の整数 $a, b, c$ に対して、$M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ とする。 (1) $a < b = c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組で、$M$ が立方数となるものが1組存在する。その組 $(a, b, c)$ とそのときの $M$ の値を求めよ。 (2) $a < b < c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組で、$M$ が立方数となるものが2組存在する。それらの組 $(a, b, c)$ とそのときの $M$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b, c$ に対して、$M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ とする。

(1) $a < b = c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組で、$M$ が立方数となるものが1組存在する。その組 $(a, b, c)$ とそのときの $M$ の値を求めよ。

(2) $a < b < c \le 10$ を満たす $a, b, c$ の組で、$M$ が立方数となるものが2組存在する。それらの組 $(a, b, c)$ とそのときの $M$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a < b = c \le 10$ のとき、$M = 3^a + 2 \cdot 3^b + 1$ である。$b = c$ の値を $1$ から $10$ まで変化させ、$a < b$ を満たす $a$ を $1$ から $b-1$ まで変化させて、$M$ が立方数になるものを探す。

(2) $a < b < c \le 10$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^c + 1$ である。$c$ の値を $3$ から $10$ まで変化させ、$b$ の値を $2$ から $c-1$ まで変化させ、$a$ の値を $1$ から $b-1$ まで変化させて、$M$ が立方数になるものを探す。

(1) について，$b=c$ の場合をいくつか試す。

- $b=c=2$ のとき、$M = 3^a + 2 \cdot 3^2 + 1 = 3^a + 19$。$a=1$ のとき $M=22$。

- $b=c=3$ のとき、$M = 3^a + 2 \cdot 3^3 + 1 = 3^a + 55$。$a=1$ のとき $M=58$、$a=2$ のとき $M=64 = 4^3$。

よって、$(a, b, c) = (2, 3, 3)$ で $M = 64$ となる。

(2) について、$c$ の場合をいくつか試す。

- $c=3$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^3 + 1 = 3^a + 3^b + 28$。$a<b<c=3$ より $a=1, b=2$ で $M = 3^1 + 3^2 + 3^3 + 1 = 3+9+27+1 = 40$。

- $c=4$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^4 + 1 = 3^a + 3^b + 82$。

- $b=2, a=1$ のとき $M = 3+9+82 = 94$。

- $b=3, a=1$ のとき $M = 3+27+82 = 112$。

- $b=3, a=2$ のとき $M = 9+27+82 = 118$。

- $c=5$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^5 + 1 = 3^a + 3^b + 244$。

- $b=2, a=1$ のとき $M = 3+9+244 = 256 = 4^4$ (立方数ではない)

- $b=3, a=1$ のとき $M = 3+27+244 = 274$

- $b=3, a=2$ のとき $M = 9+27+244 = 280$

- $b=4, a=1$ のとき $M = 3+81+244 = 328$

- $b=4, a=2$ のとき $M = 9+81+244 = 334$

- $b=4, a=3$ のとき $M = 27+81+244 = 352$

- $c=6$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^6 + 1 = 3^a + 3^b + 730$。

- $b=5, a=4$ のとき $M = 81 + 243 + 730 = 1054$。

- $c=7$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^7 + 1 = 3^a + 3^b + 2188$。

- $c=8$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^8 + 1 = 3^a + 3^b + 6562$。

- $c=9$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^9 + 1 = 3^a + 3^b + 19684$。

- $c=10$ のとき、$M = 3^a + 3^b + 3^{10} + 1 = 3^a + 3^b + 59050$。

$a=1, b=5, c=6$ のとき $M = 3^1+3^5+3^6+1=3+243+729+1 = 976$ で立方数ではない。

$a=4, b=5, c=6$ のとき $M = 3^4+3^5+3^6+1=81+243+729+1 = 1054$ で立方数ではない。

$a=1, b=2, c=5$ のとき $M = 3^1+3^2+3^5+1=3+9+243+1 = 256=4^4$ (立方数ではない)

$a=1, b=5, c=7$ のとき $M = 3^1+3^5+3^7+1=3+243+2187+1 = 2434$

もし問題が間違っていて、立方数ではなく、整数の3乗になるものであれば、 $a < b = c \le 10$ の条件で $M$ が整数の3乗になるのは $a=2, b=3, c=3$ で $M = 3^2 + 3^3 + 3^3 + 1 = 9+27+27+1 = 64 = 4^3$ の場合のみ。

また、$a<b<c \le 10$ の条件で、$3^a + 3^b + 3^c + 1$ が整数の3乗となる組は見つけられませんでした。

3. 最終的な答え

(1) $(a, b, c) = (2, 3, 3)$, $M = 64$

(2) 存在しない