8個のリンゴを3人に配る方法について、以下の2つの場合を考える問題です。 (1) リンゴをもらわない人がいても良い場合の配り方の総数を求めます。 (2) 誰もリンゴをもらわない人がいない場合の配り方の総数を求めます。

1. 問題の内容

8個のリンゴを3人に配る方法について、以下の2つの場合を考える問題です。

(1) リンゴをもらわない人がいても良い場合の配り方の総数を求めます。

(2) 誰もリンゴをもらわない人がいない場合の配り方の総数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) リンゴをもらわない人がいても良い場合

これは、重複組み合わせの問題として考えることができます。

8個のリンゴを3人に配るということは、8個の同じものと2つの仕切りを並べる順列の数と考えることができます。

例えば、リンゴを○、仕切りを｜とすると、○○｜○○○○｜○○ は、1人目が2個、2人目が4個、3人目が2個のリンゴをもらうことを意味します。

この場合、全部で8個のリンゴと2個の仕切りがあるので、合計10個のものから仕切りの位置2個を選ぶ組み合わせを考えれば良いので、

$_{10}C_2$で求めることができます。

$_{10}C_2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$

(2) 誰もリンゴをもらわない人がいない場合

まず、3人に1個ずつリンゴを配ります。

残りのリンゴは8 - 3 = 5個です。

この5個のリンゴを3人に配る方法を考えますが、今度はリンゴをもらわない人がいても良いです。

これは、(1)と同様に重複組み合わせの問題として考えることができます。

5個の同じものと2つの仕切りを並べる順列の数と考えることができます。

この場合、全部で5個のリンゴと2個の仕切りがあるので、合計7個のものから仕切りの位置2個を選ぶ組み合わせを考えれば良いので、

$_{7}C_2$で求めることができます。

$_{7}C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

(1) 45通り

(2) 21通り