点A(3, 1)と点B(5, -2)が与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示と大きさを求めよ。 (2) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と逆向きの単位ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

点A(3, 1)と点B(5, -2)が与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示と大きさを求めよ。

(2) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と逆向きの単位ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示は、点Bの座標から点Aの座標を引くことで求められる。

$\overrightarrow{AB} = (5-3, -2-1) = (2, -3)$

ベクトル$\overrightarrow{AB}$の大きさは、各成分の二乗の和の平方根で求められる。

$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

(2)

ベクトル$\overrightarrow{AB}$と逆向きのベクトルは、$-\overrightarrow{AB} = (-2, 3)$である。

単位ベクトルは、ベクトルの各成分をベクトルの大きさで割ることで求められる。

$-\overrightarrow{AB}$の大きさは$|\overrightarrow{AB}|$と等しく$\sqrt{13}$である。

したがって、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と逆向きの単位ベクトルは、

$\frac{-\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{(-2, 3)}{\sqrt{13}} = (-\frac{2}{\sqrt{13}}, \frac{3}{\sqrt{13}}) = (-\frac{2\sqrt{13}}{13}, \frac{3\sqrt{13}}{13})$

3. 最終的な答え

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示は$(2, -3)$であり、大きさは$\sqrt{13}$である。

(2) ベクトル$\overrightarrow{AB}$と逆向きの単位ベクトルは$(-\frac{2\sqrt{13}}{13}, \frac{3\sqrt{13}}{13})$である。