関数 $f(x) = x^2 - 2x$ が与えられている。 区間 $t-1 \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とする。 (1) $m(0)$ と $m(3)$ を求めよ。 (2) $y = m(t)$ のグラフをかけ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2x$ が与えられている。

区間 $t-1 \le x \le t+2$ における $f(x)$ の最小値を $m(t)$ とする。

(1) $m(0)$ と $m(3)$ を求めよ。

(2) $y = m(t)$ のグラフをかけ。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x) = x^2 - 2x$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$

これは下に凸な放物線であり、頂点は $(1, -1)$ である。

$m(0)$ を求める。区間は $0-1 \le x \le 0+2$ すなわち $-1 \le x \le 2$ である。

この区間には頂点 $x = 1$ が含まれているため、$m(0) = f(1) = -1$ となる。

$m(3)$ を求める。区間は $3-1 \le x \le 3+2$ すなわち $2 \le x \le 5$ である。

この区間には頂点 $x = 1$ は含まれていない。

区間 $2 \le x \le 5$ で $f(x)$ は増加関数であるため、最小値は $x = 2$ でとる。

$m(3) = f(2) = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ となる。

(2) $y = m(t)$ のグラフを求める。

区間 $t-1 \le x \le t+2$ に頂点 $x = 1$ が含まれる場合、つまり $t-1 \le 1 \le t+2$ のとき、最小値は $f(1) = -1$ となる。

$t-1 \le 1$ より $t \le 2$ であり、$1 \le t+2$ より $t \ge -1$ である。

よって、$-1 \le t \le 2$ のとき、$m(t) = -1$ である。

区間 $t-1 \le x \le t+2$ に頂点 $x=1$ が含まれない場合を考える。

(i) $t > 2$ の場合、区間は $t-1 \le x \le t+2$ であり、$t-1 > 1$ である。

したがって、$f(x)$ は区間 $t-1 \le x \le t+2$ で増加関数となるため、$m(t) = f(t-1) = (t-1)^2 - 2(t-1) = t^2 - 2t + 1 - 2t + 2 = t^2 - 4t + 3 = (t-2)^2 - 1$ である。

(ii) $t < -1$ の場合、区間は $t-1 \le x \le t+2$ であり、$t+2 < 1$ である。

したがって、$f(x)$ は区間 $t-1 \le x \le t+2$ で減少関数となるため、$m(t) = f(t+2) = (t+2)^2 - 2(t+2) = t^2 + 4t + 4 - 2t - 4 = t^2 + 2t = (t+1)^2 - 1$ である。

したがって、$y = m(t)$ のグラフは以下のようになる。

$t < -1$ のとき、$m(t) = t^2 + 2t$

$-1 \le t \le 2$ のとき、$m(t) = -1$

$t > 2$ のとき、$m(t) = t^2 - 4t + 3$

3. 最終的な答え

(1) $m(0) = -1$, $m(3) = 0$

(2) $y = m(t)$ のグラフ:

$t < -1$ のとき、$m(t) = t^2 + 2t$

$-1 \le t \le 2$ のとき、$m(t) = -1$

$t > 2$ のとき、$m(t) = t^2 - 4t + 3$