* a) $f(x) = x^{e^x}$ について $f'(x)$ を求める。 * b) $f(x) = (e^x + x^2)(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$ について $f'(x)$ を求める。 * c) $f(x) = e^x (2x+3)^5$ について $f^{(3)}(x)$ を求める。 * d) $f(x) = \ln x \cdot x^3$ について $f^{(3)}(x)$ を求める。

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1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

1. 高階導関数を求める。

* a) $f(x) = x^{e^x}$ について $f'(x)$ を求める。

* b) $f(x) = (e^x + x^2)(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$ について $f'(x)$ を求める。

* c) $f(x) = e^x (2x+3)^5$ について $f^{(3)}(x)$ を求める。

* d) $f(x) = \ln x \cdot x^3$ について $f^{(3)}(x)$ を求める。

2. 逆関数の導関数を求める。

* a) $f(x) = 2x + 3$ について $(f^{-1})'(x)$ を求める。

* b) $f(x) = \ln x$ について $(f^{-1})'(x)$ を求める。

3. 極限値を求める。

* a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{e^x}$ を求める。

* b) $\lim_{x \to 0} \frac{1/x^2}{\ln x}$ を求める。

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2. 解き方の手順

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1. 高階導関数の計算

a) $f(x) = x^{e^x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める (対数微分法):

1. 両辺の自然対数をとる: $\ln f(x) = e^x \ln x$

2. 両辺を $x$ で微分する: $\frac{f'(x)}{f(x)} = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

3. $f'(x)$ について解く: $f'(x) = f(x) \left(e^x \ln x + \frac{e^x}{x}\right) = x^{e^x} e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right)$

b) $f(x) = (e^x + x^2)(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})$ の導関数 $f'(x)$ を求める:

1. 積の微分法を使う: $f'(x) = (e^x + 2x)(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) + (e^x + x^2)(-\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3})$

2. 整理する: $f'(x) = \frac{e^x}{x} + \frac{e^x}{x^2} + 2 + \frac{2}{x} - \frac{e^x}{x^2} - \frac{2e^x}{x^3} - 1 - \frac{2}{x} = \frac{e^x}{x} + 1 - \frac{2e^x}{x^3}$

c) $f(x) = e^x (2x+3)^5$ の3階導関数 $f^{(3)}(x)$ を求める (ライプニッツの微分公式):

ライプニッツの微分公式は $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$ であり、$u=e^x$, $v=(2x+3)^5$と置く。

1. $f'(x) = e^x (2x+3)^5 + e^x \cdot 5(2x+3)^4 \cdot 2 = e^x((2x+3)^5 + 10(2x+3)^4)$

2. $f''(x) = e^x((2x+3)^5 + 10(2x+3)^4)+ e^x(5(2x+3)^4 \cdot 2 + 40(2x+3)^3\cdot 2)= e^x((2x+3)^5 + 20(2x+3)^4+80(2x+3)^3)$

3. $f'''(x)=e^x((2x+3)^5 + 20(2x+3)^4+80(2x+3)^3) + e^x(5(2x+3)^4\cdot 2 + 80(2x+3)^3\cdot 2 + 240(2x+3)^2\cdot 2)$

$= e^x((2x+3)^5 + 30(2x+3)^4+240(2x+3)^3+480(2x+3)^2)$

d) $f(x) = \ln x \cdot x^3$ の3階導関数 $f^{(3)}(x)$ を求める (ライプニッツの微分公式):

ライプニッツの微分公式は $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$ であり、$u=\ln x$, $v=x^3$と置く。

1. $u = \ln x, u' = \frac{1}{x}, u'' = -\frac{1}{x^2}, u''' = \frac{2}{x^3}$

2. $v = x^3, v' = 3x^2, v'' = 6x, v''' = 6$

3. $f^{(3)}(x) = \binom{3}{0} (\ln x) (6) + \binom{3}{1} (\frac{1}{x}) (6x) + \binom{3}{2} (-\frac{1}{x^2}) (3x^2) + \binom{3}{3} (\frac{2}{x^3}) (x^3)$

4. $f^{(3)}(x) = 6\ln x + 18 - 9 + 2 = 6 \ln x + 11$

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2. 逆関数の導関数の計算

a) $f(x) = 2x + 3$ の逆関数の導関数 $(f^{-1})'(x)$ を求める:

1. $y = 2x + 3$ とおく。

2. $x$ について解く: $x = \frac{y - 3}{2}$。したがって、$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$。

3. $f^{-1}(x)$ を微分する: $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2}$

b) $f(x) = \ln x$ の逆関数の導関数 $(f^{-1})'(x)$ を求める:

1. $y = \ln x$ とおく。

2. $x$ について解く: $x = e^y$。したがって、$f^{-1}(x) = e^x$。

3. $f^{-1}(x)$ を微分する: $(f^{-1})'(x) = e^x$

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3. 極限値の計算

a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{e^x}$ を求める:

1. ロピタルの定理を使う ($\frac{\infty}{\infty}$ の不定形): $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}$

2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$

b) $\lim_{x \to 0} \frac{1/x^2}{\ln x}$ を求める:

1. $\lim_{x \to 0} \frac{1/x^2}{\ln x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 \ln x}$.

2. $x \to 0$のとき、$x^2 \to 0$であり、$\ln x \to -\infty$であるから、$x^2 \ln x \to 0$.

3.したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2 \ln x} = -\infty$

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3. 最終的な答え

1. 高階導関数

* a) $f'(x) = x^{e^x} e^x \left(\ln x + \frac{1}{x}\right)$

* b) $f'(x) = \frac{e^x}{x} + 1 - \frac{2e^x}{x^3}$

* c) $f^{(3)}(x) = e^x((2x+3)^5 + 30(2x+3)^4+240(2x+3)^3+480(2x+3)^2)$

* d) $f^{(3)}(x) = 6 \ln x + 11$

2. 逆関数の導関数

* a) $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{2}$

* b) $(f^{-1})'(x) = e^x$

3. 極限値

* a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+3}{e^x} = 0$

* b) $\lim_{x \to 0} \frac{1/x^2}{\ln x} = -\infty$