放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線 $L$ を考える。$0 < t \le 1$ の範囲で $t$ が動くとき、$L$ と直線 $x = 1$ と $x$ 軸で囲まれる三角形の面積の最大値を与える $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y = x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線 $L$ を考える。$0 < t \le 1$ の範囲で $t$ が動くとき、$L$ と直線 $x = 1$ と $x$ 軸で囲まれる三角形の面積の最大値を与える $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線Lの方程式を求める。

$y = x^2$ を微分すると、$y' = 2x$。点 $P(t, t^2)$ における接線の傾きは $2t$ である。

よって、接線 $L$ の方程式は、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

ステップ2: 接線Lとx軸との交点を求める。

$y = 0$ とおくと、$0 = 2tx - t^2$。

$2tx = t^2$ より、$x = \frac{t^2}{2t} = \frac{t}{2}$ (ただし、$t \neq 0$。$0<t \le 1$よりこれは満たされる。)

したがって、接線Lとx軸との交点は $(\frac{t}{2}, 0)$。

ステップ3: 接線Lと直線x=1との交点を求める。

$x = 1$ を $y = 2tx - t^2$ に代入すると、$y = 2t(1) - t^2 = 2t - t^2$。

したがって、接線Lと直線x=1との交点は $(1, 2t - t^2)$。

ステップ4: 三角形の面積Sを求める。

三角形の頂点は $(\frac{t}{2}, 0)$, $(1, 0)$, $(1, 2t - t^2)$ である。

底辺の長さは $1 - \frac{t}{2}$。高さは $|2t - t^2|$。

$0 < t \le 1$ のとき、$2t - t^2 > 0$ であるから、高さは $2t - t^2$。

三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{t}{2}) (2t - t^2)$

$S = \frac{1}{2} (2t - t^2 - t^2 + \frac{t^3}{2})$

$S = \frac{1}{2} (2t - 2t^2 + \frac{t^3}{2})$

$S = t - t^2 + \frac{t^3}{4}$

ステップ5: 面積Sの最大値を求める。

$S' = 1 - 2t + \frac{3}{4}t^2$

$S' = 0$ となる $t$ を求める。

$\frac{3}{4}t^2 - 2t + 1 = 0$

$3t^2 - 8t + 4 = 0$

$(3t - 2)(t - 2) = 0$

$t = \frac{2}{3}$ または $t = 2$

$0 < t \le 1$ より、$t = \frac{2}{3}$。

$S'' = -\frac{8}{3}+t \times\frac{3}{2}$

$S''(2/3) = -2 + \frac{3}{4}\times \frac{4}{9} = -2 + \frac{1}{3}= -\frac{1}{2} < 0$

したがって、$t = \frac{2}{3}$ で極大値をとる。

$S(0) = 0$

$S(1) = 1 - 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$S(\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} - (\frac{2}{3})^2 + \frac{1}{4}(\frac{2}{3})^3 = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + \frac{1}{4}\cdot \frac{8}{27} = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} + \frac{2}{27} = \frac{18 - 12 + 2}{27} = \frac{8}{27}$

$\frac{8}{27} > \frac{1}{4} = \frac{6.75}{27}$ なので、$t = \frac{2}{3}$ のとき最大値。

3. 最終的な答え

$t = \frac{2}{3}$