$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、次の関数の平均変化率を定義に従って求めます。 (1) $f(x) = -4x + 3$ (2) $f(x) = x^2 + 2x - 2$ (3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$ 平均変化率の定義は $\frac{f(a) - f(b)}{a - b}$ です。

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、次の関数の平均変化率を定義に従って求めます。

(1) $f(x) = -4x + 3$

(2) $f(x) = x^2 + 2x - 2$

(3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$

平均変化率の定義は $\frac{f(a) - f(b)}{a - b}$ です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -4x + 3$ の場合

$f(a) = -4a + 3$

$f(b) = -4b + 3$

平均変化率は

$$$$

\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(-4a + 3) - (-4b + 3)}{a - b} = \frac{-4a + 3 + 4b - 3}{a - b} = \frac{-4a + 4b}{a - b} = \frac{-4(a - b)}{a - b} = -4

$$$$

(2) $f(x) = x^2 + 2x - 2$ の場合

$f(a) = a^2 + 2a - 2$

$f(b) = b^2 + 2b - 2$

平均変化率は

$$$$

\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(a^2 + 2a - 2) - (b^2 + 2b - 2)}{a - b} = \frac{a^2 + 2a - 2 - b^2 - 2b + 2}{a - b} = \frac{a^2 - b^2 + 2a - 2b}{a - b}

$$$$

$$$$

= \frac{(a - b)(a + b) + 2(a - b)}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b + 2)}{a - b} = a + b + 2

$$$$

(3) $f(x) = x^3 + x^2 + x - 1$ の場合

$f(a) = a^3 + a^2 + a - 1$

$f(b) = b^3 + b^2 + b - 1$

平均変化率は

$$$$

\frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{(a^3 + a^2 + a - 1) - (b^3 + b^2 + b - 1)}{a - b} = \frac{a^3 - b^3 + a^2 - b^2 + a - b}{a - b}

$$$$

$$$$

= \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a - b)(a + b) + (a - b)}{a - b} = \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2 + a + b + 1)}{a - b} = a^2 + ab + b^2 + a + b + 1

$$$$

3. 最終的な答え

(1) $-4$

(2) $a + b + 2$

(3) $a^2 + ab + b^2 + a + b + 1$