$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの不等式を解きます。 (1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$ (2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ (3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で、以下の3つの不等式を解きます。

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \theta < -\frac{1}{2}$

$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ の値を求めます。単位円上で $y$ 座標が $-\frac{1}{2}$ となる点を考えると、$\theta = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ です。

$\sin \theta < -\frac{1}{2}$ なので、この範囲は $\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$ となります。

(2) $\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ の値を求めます。単位円上で $x$ 座標が $\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる点を考えると、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{11}{6}\pi$ です。

$\cos \theta \ge \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、この範囲は $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}, \frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$ となります。

(3) $\tan \theta \ge \sqrt{3}$

$\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ の値を求めます。$\theta = \frac{\pi}{3}$ です。$\tan \theta$ は周期 $\pi$ の関数であることに注意します。

$\tan \theta$ は $\theta = \frac{\pi}{2}$ と $\theta = \frac{3\pi}{2}$ で定義されません。

$\tan \theta \ge \sqrt{3}$ なので、この範囲は $\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{6}\pi < \theta < \frac{11}{6}\pi$

(2) $0 \le \theta \le \frac{\pi}{6}, \frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$

(3) $\frac{\pi}{3} \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3} \le \theta < \frac{3\pi}{2}$