$y = 3^x$のマクローリン級数を求める。

1. 問題の内容

$y = 3^x$のマクローリン級数を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数を原点（$x=0$）で微分した値を用いて展開する。

まず、$3^x$を書き換える。

$3^x = e^{\ln(3^x)} = e^{x \ln(3)}$

$e^x$のマクローリン展開は以下の通りである。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

したがって、$e^{x \ln(3)}$のマクローリン展開は、$x$を$x \ln(3)$で置き換えることで得られる。

$e^{x \ln(3)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \ln(3))^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln(3))^n x^n}{n!} = 1 + (\ln(3))x + \frac{(\ln(3))^2 x^2}{2!} + \frac{(\ln(3))^3 x^3}{3!} + \dots$

3. 最終的な答え

$3^x$のマクローリン級数は、

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln(3))^n x^n}{n!}$