数列 $a_n$ が $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ が収束するかどうかを問う問題です。

1. 問題の内容

数列 $a_n$ が $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ が収束するかどうかを問う問題です。

2. 解き方の手順

数列 $a_n$ が $n \to \infty$ で 0 に収束することは、無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ が収束するための必要条件ですが、十分条件ではありません。

つまり、$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$ であっても、無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ が発散する例が存在します。

例として、調和級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ を考えます。このとき、$a_k = \frac{1}{k}$ であり、$\lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k} = 0$ です。しかし、調和級数は発散することが知られています。

したがって、与えられた命題は誤りです。

3. 最終的な答え

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