与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{2}x + \sqrt{x+1}$ の逆関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2}y + \sqrt{y+1}$

次に、$y$ について解きます。

$x - \frac{1}{2}y = \sqrt{y+1}$

両辺を2乗します。

$(x - \frac{1}{2}y)^2 = y+1$

$x^2 - xy + \frac{1}{4}y^2 = y+1$

$\frac{1}{4}y^2 - (x+1)y + x^2 - 1 = 0$

両辺に4を掛けます。

$y^2 - 4(x+1)y + 4(x^2 - 1) = 0$

これは $y$ についての二次方程式なので、解の公式を使います。

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{16(x+1)^2 - 16(x^2-1)}}{2}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{16(x^2 + 2x + 1) - 16x^2 + 16}}{2}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{16x^2 + 32x + 16 - 16x^2 + 16}}{2}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{32x + 32}}{2}$

$y = \frac{4(x+1) \pm \sqrt{32(x+1)}}{2}$

$y = \frac{4(x+1) \pm 4\sqrt{2(x+1)}}{2}$

$y = 2(x+1) \pm 2\sqrt{2(x+1)}$

$y = 2x + 2 \pm 2\sqrt{2x+2}$

ここで、元の関数の定義域を考えると、$x+1 \geq 0$ より、$x \geq -1$です。また、$x$ が十分大きい時、$y$ も十分大きくなるので、逆関数も単調増加であると考えられます。

そこで、$y = 2x + 2 - 2\sqrt{2x+2}$の時に、$x$が十分大きいと$y$は負の値になる可能性があるので、$y = 2x + 2 + 2\sqrt{2x+2}$のみが逆関数として適切です。

3. 最終的な答え

$y = 2x + 2 + 2\sqrt{2x+2}$