与えられた積分 $\int e^{3x}e^{4x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{3x}e^{4x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、指数法則を用いて積分の中身を整理します。指数法則 $a^m a^n = a^{m+n}$ を用いると、

$e^{3x}e^{4x} = e^{3x+4x} = e^{7x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int e^{7x} dx$

次に、$u = 7x$ と置換します。すると、$du = 7 dx$ となり、$dx = \frac{1}{7} du$ を得ます。よって、

$\int e^{7x} dx = \int e^u \frac{1}{7} du = \frac{1}{7} \int e^u du$

$e^u$ の積分は $e^u$ なので、

$\frac{1}{7} \int e^u du = \frac{1}{7} e^u + C$

最後に、$u = 7x$ を代入して、

$\frac{1}{7} e^u + C = \frac{1}{7} e^{7x} + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{3x}e^{4x} dx = \frac{1}{7} e^{7x} + C$