与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は $\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は置換積分を使って解くことができます。

分母を $u$ とおくと、分子が $u$ の微分に比例する形になっていることに着目します。

まず、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ と置きます。

次に、$u$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 3x^2 + 6x$

となります。

これより $du = (3x^2 + 6x) dx = 3(x^2 + 2x) dx$ が得られます。

したがって、$(x^2 + 2x) dx = \frac{1}{3} du$ となります。

これで積分を書き換えることができます。

$\int \frac{x^2 + 2x}{x^3 + 3x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du$

$= \frac{1}{3} \ln |u| + C$

ここで、$u = x^3 + 3x^2 + 1$ を代入します。

$= \frac{1}{3} \ln |x^3 + 3x^2 + 1| + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln |x^3 + 3x^2 + 1| + C$