2つの曲線 $y = \sin x$ および $y = 2\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) をそれぞれ$C_1$, $C_2$とする。$C_1$, $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = \sin x$ および $y = 2\cos x$ ($0 \le x \le \frac{\pi}{2}$) をそれぞれ$C_1$, $C_2$とする。$C_1$, $C_2$ および $y$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標を求める。

$\sin x = 2 \cos x$ より、$\tan x = 2$。

$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ において、$\tan x = 2$ となる $x$ を $\alpha$ とおくと、$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ である。

求める面積は、$\int_0^\alpha (2\cos x - \sin x) dx$ で与えられる。

$\int (2\cos x - \sin x) dx = 2\sin x + \cos x + C$ より、

$\int_0^\alpha (2\cos x - \sin x) dx = [2\sin x + \cos x]_0^\alpha = (2\sin \alpha + \cos \alpha) - (2\sin 0 + \cos 0) = (2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}) - (0 + 1) = \frac{5}{\sqrt{5}} - 1 = \sqrt{5} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5} - 1$