次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x + 1} dx$

2. 解き方の手順

まず、$u = \sin x + 1$ と置換します。すると、$du = \cos x dx$ となります。

また、積分区間も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 + 1 = 0 + 1 = 1$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} du$

$\frac{1}{u}$ の積分は $\ln |u|$ なので、

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_{1}^{2}$

$= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$

3. 最終的な答え

$\ln 2$