次の関数を微分せよ。 (1) $y = e^{-2x+1}$ (2) $y = 3xe^{4x}$ (3) $y = 5^{3x}$ (4) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ (5) $y = 3^x \cos 2x$ (6) $y = e^x \tan 2x$ (7) $y = (e^x - e^{-x})^3$ (8) $y = x^2 \cdot 3^x$ (9) $y = \frac{e^{2x}+2}{x-1}$

はい、承知いたしました。与えられた関数の微分について、(1)から(9)まで順番に解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = e^{-2x+1}$

(2) $y = 3xe^{4x}$

(3) $y = 5^{3x}$

(4) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$

(5) $y = 3^x \cos 2x$

(6) $y = e^x \tan 2x$

(7) $y = (e^x - e^{-x})^3$

(8) $y = x^2 \cdot 3^x$

(9) $y = \frac{e^{2x}+2}{x-1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{-2x+1}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = -2x+1$ とおくと、$y = e^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = e^u$、$\frac{du}{dx} = -2$

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-2) = -2e^{-2x+1}$

(2) $y = 3xe^{4x}$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = 3x$、$v = e^{4x}$ とおくと、

$u' = 3$、$v' = 4e^{4x}$

$\frac{dy}{dx} = 3e^{4x} + 3x(4e^{4x}) = 3e^{4x} + 12xe^{4x} = 3e^{4x}(1+4x)$

(3) $y = 5^{3x}$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = 3x$ とおくと、$y = 5^u$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5^u \ln 5$、$\frac{du}{dx} = 3$

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 5^{3x} \ln 5$

(4) $y = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$ の微分

$y = (e^x + e^{-x})^{-1}$として、合成関数の微分を行います。

$u = e^x + e^{-x}$ とおくと、$y = u^{-1}$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{(e^x + e^{-x})^2}$、$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

(5) $y = 3^x \cos 2x$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = 3^x$、$v = \cos 2x$ とおくと、

$u' = 3^x \ln 3$、$v' = -2\sin 2x$

$\frac{dy}{dx} = 3^x \ln 3 \cos 2x - 2 \cdot 3^x \sin 2x = 3^x(\ln 3 \cos 2x - 2 \sin 2x)$

(6) $y = e^x \tan 2x$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = e^x$、$v = \tan 2x$ とおくと、

$u' = e^x$、$v' = \frac{2}{\cos^2 2x}$

$\frac{dy}{dx} = e^x \tan 2x + e^x \cdot \frac{2}{\cos^2 2x} = e^x (\tan 2x + \frac{2}{\cos^2 2x})$

(7) $y = (e^x - e^{-x})^3$ の微分

合成関数の微分を行います。$u = e^x - e^{-x}$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$、$\frac{du}{dx} = e^x + e^{-x}$

$\frac{dy}{dx} = 3(e^x - e^{-x})^2 (e^x + e^{-x})$

(8) $y = x^2 \cdot 3^x$ の微分

積の微分を行います。$(uv)' = u'v + uv'$。$u = x^2$、$v = 3^x$ とおくと、

$u' = 2x$、$v' = 3^x \ln 3$

$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot 3^x + x^2 \cdot 3^x \ln 3 = 3^x(2x + x^2 \ln 3)$

(9) $y = \frac{e^{2x}+2}{x-1}$ の微分

商の微分を行います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。$u = e^{2x}+2$、$v = x-1$ とおくと、

$u' = 2e^{2x}$、$v' = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2e^{2x}(x-1) - (e^{2x}+2)}{(x-1)^2} = \frac{2xe^{2x} - 2e^{2x} - e^{2x} - 2}{(x-1)^2} = \frac{2xe^{2x} - 3e^{2x} - 2}{(x-1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -2e^{-2x+1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3e^{4x}(1+4x)$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 5^{3x} \ln 5$

(4) $\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x - e^{-x}}{(e^x + e^{-x})^2}$

(5) $\frac{dy}{dx} = 3^x(\ln 3 \cos 2x - 2 \sin 2x)$

(6) $\frac{dy}{dx} = e^x (\tan 2x + \frac{2}{\cos^2 2x})$

(7) $\frac{dy}{dx} = 3(e^x - e^{-x})^2 (e^x + e^{-x})$

(8) $\frac{dy}{dx} = 3^x(2x + x^2 \ln 3)$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{2xe^{2x} - 3e^{2x} - 2}{(x-1)^2}$