数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、$a_n$ の一般項を求め、さらに $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n} - n)$ および $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$ および $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、$a_n$ の一般項を求め、さらに $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n} - n)$ および $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ の一般項を求める。

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ より、階差数列 $b_n = a_{n+1} - a_n = 2n + 5$ である。

$n \geq 2$ のとき、

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a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 5) = 5 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + 5\sum_{k=1}^{n-1} 1

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= 5 + 2\cdot \frac{(n-1)n}{2} + 5(n-1) = 5 + n^2 - n + 5n - 5 = n^2 + 4n

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$n=1$ のとき $a_1 = 1^2 + 4(1) = 5$ となり、与えられた $a_1 = 5$ と一致する。

よって、$a_n = n^2 + 4n$ である。

(2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n} - n)$ を求める。

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\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n} - n) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 4n} - n)

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= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 4n} - n)(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 4n - n^2}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}

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= \lim_{n \to \infty} \frac{4n}{\sqrt{n^2(1 + \frac{4}{n})} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n}{n\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1}

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= \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2

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(3) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求める。

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\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{\frac{n^2 + 4n}{n}} - \sqrt{n}\right) = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n + 4} - \sqrt{n})

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= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+4} - \sqrt{n})(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 4 - n}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}}

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= \lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = 0

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3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + 4n + 0$

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{a_n} - n) = 2$

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n}) = 0$