与えられた関数 $f(x)$ について、その第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める問題です。関数は以下の2つです。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ について、その第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ を求め、さらに $f^{(n)}(0)$ を求める問題です。関数は以下の2つです。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合：

$f'(x) = 2xe^{x^2} = 2xf(x)$

$f''(x) = 2f(x) + 2x f'(x) = 2e^{x^2} + 4x^2e^{x^2} = (2+4x^2)e^{x^2}$

$f^{(n)}(x)$ を求めるのは難しいので、$f^{(n)}(0)$を求めることを考えます。

$f(0)=1$

$f'(0)=0$

$f''(0)=2$

$f'''(x) = 4xe^{x^2} + (2+4x^2)2xe^{x^2} = (4x + 4x + 8x^3)e^{x^2} = (8x + 8x^3)e^{x^2}$

$f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = (8 + 24x^2)e^{x^2} + (8x + 8x^3)2xe^{x^2} = (8 + 24x^2 + 16x^2 + 16x^4)e^{x^2} = (8+40x^2+16x^4)e^{x^2}$

$f^{(4)}(0) = 8$

一般に、$f^{(n)}(0)$ を求めることを考えます。$f'(x) = 2xf(x)$を利用して微分していきます。

$f''(x) = 2f(x) + 2xf'(x)$

$f'''(x) = 2f'(x) + 2f'(x) + 2xf''(x) = 4f'(x) + 2xf''(x)$

$f^{(4)}(x) = 4f''(x) + 2f''(x) + 2xf'''(x) = 6f''(x) + 2xf'''(x)$

$f^{(n+1)}(x) = 2xf^{(n)}(x) + 2nf^{(n-1)}(x)$

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f^{(n)}(0)$について、

$f(0) = 1$

$f'(0) = 0$

$f''(0) = 2f(0) + 0 = 2$

$f'''(0) = 4f'(0) = 0$

$f^{(4)}(0) = 6f''(0) = 6*2 = 12 = 2*3*2$

$f^{(5)}(0) = 8f'''(0) = 0$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ の場合：

$f(x) = \frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{2i} (\frac{1}{x-i} - \frac{1}{x+i})$

$f'(x) = \frac{1}{2i} (-\frac{1}{(x-i)^2} + \frac{1}{(x+i)^2})$

$f''(x) = \frac{1}{2i} (\frac{2}{(x-i)^3} - \frac{2}{(x+i)^3})$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2i} (\frac{(-1)^n n!}{(x-i)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+i)^{n+1}})$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{2i} (\frac{1}{(x-i)^{n+1}} - \frac{1}{(x+i)^{n+1}})$

$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2i} (\frac{1}{(-i)^{n+1}} - \frac{1}{(i)^{n+1}}) = \frac{(-1)^n n!}{2i} (i^{n+1} - (-i)^{n+1})$

$i^{n+1} - (-i)^{n+1} = i^{n+1} (1-(-1)^{n+1})$

$1-(-1)^{n+1}$ は、$n$ が偶数の時0、$n$ が奇数の時

2. $f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2i} i^{n+1} (1-(-1)^{n+1})$

$n$ が偶数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

$n=2k+1$ のとき、$f^{(2k+1)}(0) = \frac{(-1)^{2k+1} (2k+1)!}{2i} i^{2k+2} (2) = (-1) (2k+1)! i^{2k+1} = -(2k+1)! i^{2k+1}$

$k = 0, f'(0) = -i$

$k=1, f'''(0) = -3! i^3 = -6(-i) = 6i$

$f^{(2k+1)}(0) = -(2k+1)! i^{2k+1}$

$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k (2k+1)!$

$f'(x) = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$

$f'(0) = 1$

$f''(x) = \frac{-2x(1+x^2)^2 - (1-x^2)2(1+x^2)2x}{(1+x^2)^4} = \frac{-2x(1+x^2) - 4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3} = \frac{-2x-2x^3-4x+4x^3}{(1+x^2)^3} = \frac{2x^3-6x}{(1+x^2)^3}$

$f''(0)=0$

$f'''(x) = \frac{(6x^2-6)(1+x^2)^3 - (2x^3-6x)3(1+x^2)^2(2x)}{(1+x^2)^6} = \frac{(6x^2-6)(1+x^2) - 6x(2x^3-6x)}{(1+x^2)^4}$

$f'''(0) = \frac{-6 - 0}{1} = -6$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$の場合：

$f^{(n+1)}(0) = 2n f^{(n-1)}(0)$

$f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=2$

(2) $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$の場合：

$f^{(n)}(0) = 0$ （$n$が偶数の時）

$f^{(2k+1)}(0) = (-1)^k (2k+1)!$ （$n=2k+1$が奇数の時）