数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、一般項 $a_n$ を求め、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{a_n} - n)$ と $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 5$, $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ ($n = 1, 2, 3, \dots$) によって定義されているとき、一般項 $a_n$ を求め、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{a_n} - n)$ と $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$a_n$ を求めます。漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2n + 5$ から

$a_{n+1} - a_n = 2n + 5$

$n \ge 2$ のとき

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 5)$$

$$a_n = 5 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k + 5 \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

$$a_n = 5 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 5(n-1)$$

$$a_n = 5 + n^2 - n + 5n - 5 = n^2 + 4n$$

$n = 1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 4(1) = 5$ となり、成り立つ。

したがって、

$$a_n = n^2 + 4n$$

次に $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{a_n} - n)$ を求める。

$$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{a_n} - n) = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n^2 + 4n} - n)$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 4n} - n)(\sqrt{n^2 + 4n} + n)}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2 + 4n - n^2}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n} = \lim_{n\to\infty} \frac{4n}{n\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + n} = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1}$$

$$= \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{2} = 2$$

最後に $\lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n})$ を求める。

$$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n}) = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{n^2+4n}{n}} - \sqrt{n}) = \lim_{n\to\infty} (\sqrt{n+4} - \sqrt{n})$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n+4} - \sqrt{n})(\sqrt{n+4} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+4 - n}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}}$$

$$= \lim_{n\to\infty} \frac{4}{\sqrt{n+4} + \sqrt{n}} = 0$$

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 + 4n$

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{a_n} - n) = 2$

$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{\frac{a_n}{n}} - \sqrt{n}) = 0$