与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ をライプニッツの公式を用いて漸化式の形で表し、さらにその第 $n$ 次微分係数 $f^{(n)}(0)$ を求める。対象となる関数は以下の2つです。 (1) $f(x) = e^{x^2}$ (2) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)}(x)$ をライプニッツの公式を用いて漸化式の形で表し、さらにその第 $n$ 次微分係数 $f^{(n)}(0)$ を求める。対象となる関数は以下の2つです。

(1) $f(x) = e^{x^2}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合

まず、$e^{x^2}$ の微分を繰り返し行い、$f'(x)$, $f''(x)$などを求めて、規則性を見つけることを試みます。

$f'(x) = 2x e^{x^2}$

$f''(x) = 2 e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2} = (2 + 4x^2) e^{x^2}$

$f'''(x) = 8x e^{x^2} + (2 + 4x^2) 2x e^{x^2} = (12x + 8x^3) e^{x^2}$

ライプニッツの公式を直接適用することは難しいので、別の方法を考えます。$f^{(n)}(0)$を求めることに注目し、テイラー展開を利用することを考えます。$e^{x^2}$のテイラー展開は以下の通りです。

$e^{x^2} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x^2)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{k!}$

マクローリン展開の係数と微分の関係より、$f^{(n)}(0)$ は以下のように求められます。

$f^{(n)}(0) = n! \times (\text{マクローリン展開の} x^n \text{の係数})$

したがって、$n = 2k$のとき、$f^{(n)}(0) = n! \times \frac{1}{k!} = \frac{(2k)!}{k!}$、それ以外のとき、$f^{(n)}(0) = 0$

(2) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ の場合

$f(x)$を部分分数分解します。

$f(x) = \frac{x}{1 + x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1 + ix} + \frac{1}{1 - ix} \right)$

$\frac{1}{1+ax}$ の $n$ 次導関数は $(-1)^n n! a^n (1+ax)^{-n-1}$ なので、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^n n! i^n}{(1 + ix)^{n+1}} + \frac{(-1)^n n! (-i)^n}{(1 - ix)^{n+1}} \right) = \frac{(-1)^n n!}{2} \left( \frac{i^n}{(1 + ix)^{n+1}} + \frac{(-i)^n}{(1 - ix)^{n+1}} \right)$

したがって、$f^{(n)}(0) = \frac{(-1)^n n!}{2} (i^n + (-i)^n)$

$i^n + (-i)^n = i^n + (-1)^n i^n = (1 + (-1)^n) i^n$

$n$ が奇数の場合、$1 + (-1)^n = 0$なので、$f^{(n)}(0) = 0$

$n$ が偶数の場合、$n = 2k$とおくと、$i^{2k} = (i^2)^k = (-1)^k$より

$f^{(2k)}(0) = \frac{(-1)^{2k} (2k)!}{2} (1 + 1) (-1)^k = (-1)^k (2k)!$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = e^{x^2}$ の場合:

$f^{(n)}(0) = \begin{cases} \frac{(2k)!}{k!} & (n = 2k) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$

(2) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ の場合:

$f^{(n)}(0) = \begin{cases} (-1)^k (2k)! & (n = 2k) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases}$