定積分 $\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx$ の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx$ の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$|1-x^2|$ の絶対値を外します。$1-x^2 = 0$ となるのは、$x = \pm 1$ のときです。

積分範囲は $-1 \le x \le 2$ なので、積分区間を $[-1, 1]$ と $[1, 2]$ に分けます。

$-1 \le x \le 1$ のとき、$1-x^2 \ge 0$ なので、$|1-x^2| = 1-x^2$ となります。

$1 \le x \le 2$ のとき、$1-x^2 \le 0$ なので、$|1-x^2| = -(1-x^2) = x^2 - 1$ となります。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx = \int_{-1}^{1} (1-x^2) dx + \int_{1}^{2} (x^2-1) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-1}^{1} (1-x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$\int_{1}^{2} (x^2-1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3}$

よって、

$\int_{-1}^{2} |1-x^2| dx = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{3}$