与えられた6つの関数を微分する問題です。すべての関数は対数関数を含んでいます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。すべての関数は対数関数を含んでいます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(5x-1)$

対数関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{u'}{u}$ を用います。ここで $u = 5x-1$ なので、$u' = 5$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{5}{5x-1}$

(2) $y = \log((x+2)(x-4))$

まず、対数の性質を用いて関数を簡単化します。$\log(ab) = \log a + \log b$ なので、

$y = \log(x+2) + \log(x-4)$

それぞれの項を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4)+(x+2)}{(x+2)(x-4)} = \frac{2x-2}{x^2-2x-8}$

(3) $y = \log\left(\frac{x+2}{x}\right)$

対数の性質 $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ を用いて関数を簡単化します。

$y = \log(x+2) - \log(x)$

それぞれの項を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x} = \frac{x-(x+2)}{x(x+2)} = \frac{-2}{x(x+2)} = \frac{-2}{x^2+2x}$

(4) $y = \log_4(4x)$

底の変換公式を用いて、自然対数に変換します。$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$ なので、

$y = \frac{\log(4x)}{\log 4}$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\log 4} \cdot \frac{4}{4x} = \frac{1}{x \log 4}$

(5) $y = \log(\sqrt{x^2+2})$

$\sqrt{x^2+2} = (x^2+2)^{1/2}$ であるので、

$y = \log((x^2+2)^{1/2})$

対数の性質 $\log a^b = b \log a$ より、

$y = \frac{1}{2} \log(x^2+2)$

微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+2} = \frac{x}{x^2+2}$

(6) $y = \log|\sin x|$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{5x-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-2}{x^2-2x-8}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2}{x^2+2x}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \log 4}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2+2}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \cot x$