与えられた定積分の値を計算する問題です。積分は $\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を計算する問題です。積分は

$\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} dx$

です。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、置換積分法を用います。

$u = 4 - x^2$とおくと、$du = -2x dx$となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2} du$です。

積分の範囲も変更する必要があります。

$x=0$のとき、$u = 4 - 0^2 = 4$です。

$x=\sqrt{3}$のとき、$u = 4 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$です。

これにより、積分は次のように書き換えられます。

$\int_{4}^{1} \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}} du = -\frac{1}{2} \int_{4}^{1} u^{-1/2} du$

積分の順序を逆にして符号を変えると、

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} u^{-1/2} du$

積分を計算すると、

$\frac{1}{2} \left[ 2u^{1/2} \right]_{1}^{4} = \left[ u^{1/2} \right]_{1}^{4} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2 - 1 = 1$

3. 最終的な答え

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