与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{e^x}{\sqrt{e^x + 1}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = e^x + 1$ とおくと、$du = e^x dx$ となります。

積分範囲も変更する必要があります。

$x=0$ のとき、$u = e^0 + 1 = 1 + 1 = 2$ となり、$x=1$ のとき、$u = e^1 + 1 = e+1$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{2}^{e+1} \frac{1}{\sqrt{u}} du$

これは $\int_{2}^{e+1} u^{-1/2} du$ と書き換えることができます。

$u^{-1/2}$ の積分は $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{u}$ です。

したがって、定積分は

$2\sqrt{u} \Big|_{2}^{e+1} = 2\sqrt{e+1} - 2\sqrt{2}$

$= 2(\sqrt{e+1} - \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

$2(\sqrt{e+1} - \sqrt{2})$