次の関数を微分せよ。 (a) $y = (1-3x)^2$ (b) $y = \frac{1}{(5x-2)^5}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(a) $y = (1-3x)^2$

(b) $y = \frac{1}{(5x-2)^5}$

2. 解き方の手順

(a)

合成関数の微分を使う。$y = u^2$ とおくと、$u = 1 - 3x$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u = 2(1 - 3x)$

$\frac{du}{dx} = -3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2(1 - 3x) \cdot (-3) = -6(1 - 3x) = -6 + 18x = 18x - 6$

(b)

$y = \frac{1}{(5x-2)^5} = (5x - 2)^{-5}$

$y = u^{-5}$ とおくと、$u = 5x - 2$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -5u^{-6} = -5(5x - 2)^{-6}$

$\frac{du}{dx} = 5$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -5(5x - 2)^{-6} \cdot 5 = -25(5x - 2)^{-6} = \frac{-25}{(5x - 2)^6}$

3. 最終的な答え

(a) $18x - 6$

(b) $\frac{-25}{(5x - 2)^6}$