3つの問題があります。 問題1：次の関数の3次導関数を求める。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$ (2) $g(x) = \sqrt{3x-1}$ 問題2：次の関数のn次導関数を求める（$n \in \mathbb{N}$）。 (1) $h(x) = e^{3x-1}$ (2) $k(x) = \sin(2x+3)$ 問題3：次の関数の増減を調べ、極値を求める。 (1) $l(x) = xe^{-x}$ (2) $m(x) = x^2e^{-x}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

3つの問題があります。

問題1：次の関数の3次導関数を求める。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

(2) $g(x) = \sqrt{3x-1}$

問題2：次の関数のn次導関数を求める（$n \in \mathbb{N}$）。

(1) $h(x) = e^{3x-1}$

(2) $k(x) = \sin(2x+3)$

問題3：次の関数の増減を調べ、極値を求める。

(1) $l(x) = xe^{-x}$

(2) $m(x) = x^2e^{-x}$

2. 解き方の手順

問題1：

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

$f'(x) = -2x^{-3}$

$f''(x) = 6x^{-4}$

$f'''(x) = -24x^{-5} = -\frac{24}{x^5}$

(2) $g(x) = \sqrt{3x-1} = (3x-1)^{\frac{1}{2}}$

$g'(x) = \frac{1}{2}(3x-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2}(3x-1)^{-\frac{1}{2}}$

$g''(x) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{1}{2})(3x-1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 3 = -\frac{9}{4}(3x-1)^{-\frac{3}{2}}$

$g'''(x) = -\frac{9}{4} \cdot (-\frac{3}{2})(3x-1)^{-\frac{5}{2}} \cdot 3 = \frac{81}{8}(3x-1)^{-\frac{5}{2}} = \frac{81}{8\sqrt{(3x-1)^5}}$

問題2：

(1) $h(x) = e^{3x-1}$

$h'(x) = 3e^{3x-1}$

$h''(x) = 3^2e^{3x-1}$

$h'''(x) = 3^3e^{3x-1}$

よって、$h^{(n)}(x) = 3^ne^{3x-1}$

(2) $k(x) = \sin(2x+3)$

$k'(x) = 2\cos(2x+3) = 2\sin(2x+3+\frac{\pi}{2})$

$k''(x) = 2^2(-\sin(2x+3)) = 2^2\sin(2x+3+\pi)$

$k'''(x) = 2^3(-\cos(2x+3)) = 2^3\sin(2x+3+\frac{3\pi}{2})$

よって、$k^{(n)}(x) = 2^n\sin(2x+3+\frac{n\pi}{2})$

問題3：

(1) $l(x) = xe^{-x}$

$l'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

$l'(x) = 0$となるのは、$x=1$のとき。

$l''(x) = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$

$l''(1) = -e^{-1} < 0$なので、$x=1$で極大値をとる。

極大値は、$l(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$x<1$で増加、$x>1$で減少。

(2) $m(x) = x^2e^{-x}$

$m'(x) = 2xe^{-x} - x^2e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$

$m'(x) = 0$となるのは、$x=0, 2$のとき。

$m''(x) = (2-2x)e^{-x} - (2x-x^2)e^{-x} = (x^2-4x+2)e^{-x}$

$m''(0) = 2 > 0$なので、$x=0$で極小値をとる。極小値は、$m(0) = 0$

$m''(2) = (4-8+2)e^{-2} = -2e^{-2} < 0$なので、$x=2$で極大値をとる。極大値は、$m(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$

$x<0$で減少、$0<x<2$で増加、$x>2$で減少。

3. 最終的な答え

問題1：

(1) $f'''(x) = -\frac{24}{x^5}$

(2) $g'''(x) = \frac{81}{8\sqrt{(3x-1)^5}}$

問題2：

(1) $h^{(n)}(x) = 3^ne^{3x-1}$

(2) $k^{(n)}(x) = 2^n\sin(2x+3+\frac{n\pi}{2})$

問題3：

(1) $x=1$で極大値 $\frac{1}{e}$

(2) $x=0$で極小値 $0$, $x=2$で極大値 $\frac{4}{e^2}$